自然数Nに対し、1,N,N^2,N^3,....のNの非負整数乗の集合を考える。この集合からN-1個を重複込みで選び、その和として表すことができる数のうち、4^N番目に小さい数をMとする。??
lim[N→∞] (log M)/Nを求めよ??
(ただし、logの底はN)??
例えば、N=3なら1.3.9.27...から2個を選んで表せる 2.4.6.10.12..のうち4^3番目に小さい数がM
昨日の夜から今日の朝にかけて合計5時間掛けて解いたので、答え合わせ願いたい
>>3 おお！本人ですか？まさか本当に来て頂けるとは思いませんでした。もう少し待っててください
すみません、順番違いますね。真ん中、左、右の順です
お見事！正解です！
かなり難しめの問題だったんですけど、うまく議論して1に収束すること示せてますね！
あとで自分の解答も貼ります
ちなみに、10^N番目だとどうなると思いますか？
1枚目の最後がイコールになるということですか？
でも、最後にもう一つ不等式があるから大丈夫ですよ
>>13 ささいなことなのですが、⭐を示すところで、(2N+2m)CNとなっているのですが、ただしくは(2N+2m)C(N-1)でした。まあ、同様に簡単に示せるのですが
>>14 大学1年です。久しぶりに覗いてみたら面白そうな問題があったもので、浪人時代の血が騒ぎました。
なかなか骨のある問題で、楽しかったです。
解答貼ります
実は自分のこの解答だと◎の議論がかなり怪しかったのですが、上の貼ってくださった解答で、解決しました
こういう整数論？の問題って結論から問題を作っているんですか？
上の10^Nのときの解答は
{(X+1)^(X+1)}/{X^X}=10の解が答えになります。
この式で、右辺が整数でかつ解が求められるのは4しか無かったので、4^Nに設定しました。
10^Nだと3.19013..ぐらいになります
>>21 すげー、積分使ってる！logで掛け算を足し算に変えたところとか素晴らしい発想ですね！
>>20 いや、この問題作ったきっかけは
[lim n→inf](2nCn)^(1/n)
の区分求積法を使う問題を作りたいと思って調整して作った
[lim n→inf](2nCn)^(1/n)が求められるのって結構面白いと思うんだけど、このタイプで見る問題は、解法見え見えな単発のパターン問題ばっかりだったから
これを使うことをうまく隠した問題にしようとして、これができた
発散度合は試行錯誤して特定した
>>22 積分つかうところが、自分の中でもまあまあ上手いかなって思ったところですね
その数学力なら相当上の大学狙ってそうですねー。私は浪人時代、難しい数学の問題を探したり作ったりして遊んでいたら、速く解く練習をしていなかった為に普通に第一志望落ちちゃいました笑。
難しい問題を求めすぎても爆死してしまうかもしれません。気を付けて、受験勉強頑張ってください！
素晴らしい議論ですね。物理的にも学力的にも到底参加できませんでしたが、作成者回答者の両者に賛辞を送りたい！
