分からない問題はここに書いてね457 YouTube動画>9本 ->画像>69枚

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね456
http://2chb.net/r/math/1567866548/

(使用済です: 478)

ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。

前スレhttp://2chb.net/r/math/1567866548/975
の続き
6人を定員2人の3部屋にわける場合を考える
部屋割りのやり方を列挙すると

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 1 2 2 3 3
[2,] 1 1 2 3 2 3
[3,] 1 1 2 3 3 2
[4,] 1 1 3 2 2 3
[5,] 1 1 3 2 3 2
[6,] 1 1 3 3 2 2
で始まり
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[85,] 3 3 1 1 2 2
[86,] 3 3 1 2 1 2
[87,] 3 3 1 2 2 1
[88,] 3 3 2 1 1 2
[89,] 3 3 2 1 2 1
[90,] 3 3 2 2 1 1
で終わる　90通り

このうち、5番と6番が同じものは
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 1 2 2 3 3
[2,] 1 1 3 3 2 2
[3,] 1 2 1 2 3 3
[4,] 1 2 2 1 3 3
[5,] 1 3 1 3 2 2
[6,] 1 3 3 1 2 2
[7,] 2 1 1 2 3 3
[8,] 2 1 2 1 3 3
[9,] 2 2 1 1 3 3
[10,] 2 2 3 3 1 1
[11,] 2 3 2 3 1 1
[12,] 2 3 3 2 1 1
[13,] 3 1 1 3 2 2
[14,] 3 1 3 1 2 2
[15,] 3 2 2 3 1 1
[16,] 3 2 3 2 1 1
[17,] 3 3 1 1 2 2
[18,] 3 3 2 2 1 1
の18通り
> 18/90　=　0.2は直感に反する、90通りが同様に確からしいという前提が間違い
数えてみると6人からどの2人の組み合わせでも同室になる場合は18通りになっている。
> FUN <- function(x) sum(dat3[,x[1]]==dat3[,x[2]])
> combn(1:6,2,FUN)
[1] 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18

１，２が同室、１，３が同室、２，３が同室、５，６が同室となる場合を選んで、シミュレーションしてみた。
同様に確からしければ1/90=0.01111=1.111111%の近似値が返ってくるはず。

# 同様に確からしくないシミュレーション
rm(list=ls())
r12=c(1,1,3,2,2,3)
r13=c(1,2,1,3,2,3)
r23=c(1,2,2,3,1,3)
r56=c(2,1,1,2,3,3)

sim <- function(x,n=6){ # 部屋の割当がxと等しいかT/Fを返す
r=numeric(n) # １〜6人の部屋番号（１〜３）の配列
for(i in 1:n){
j=which(c(sum(r==1)<n/3 , sum(r==2)<n/3 , sum(r==3)<n/3 ))　#　定員に達していない部屋から
r[i]=as.numeric(sample(as.character(j),1)) # ランダムに割り当てる
}
all(x==r)
}
mean(replicate(1e5,sim(r12)))*100 # 百分率%表示
mean(replicate(1e5,sim(r13)))*100
mean(replicate(1e5,sim(r23)))*100
mean(replicate(1e5,sim(r56)))*100


実行結果
> mean(replicate(1e5,sim(r12)))*100 # 百分率%表示
[1] 1.384
> mean(replicate(1e5,sim(r13)))*100
[1] 0.949
> mean(replicate(1e5,sim(r23)))*100
[1] 0.915
> mean(replicate(1e5,sim(r56)))*100
[1] 1.874

lim [n→∞] e^(-n)*(2n,n)
を求めよ。
（(m,k)は二項係数で、mCkとも書く）

>>3
６人を定員二人の３つの部屋に部屋を区別して分ける分け方は、
C(6,2)*C(4,2)=90

特定の二人が同じ部屋になる分け方は、他の二部屋に残りの４
人をどう振り分けるかなので、部屋を区別すれば、
3*C(4,2)=18

どの分け方も同確率で起きるとすれば、特定の２人が同じ部屋に
なる確率は　18/60=1/5

くじ引き方式（６枚の紙に３つの部屋番号を書いて６人に引かせる）
の場合がこのケースにあたる。くじを引く順番とは関係なくなる。

一方、ルーレット方式だと、
１番と２番が同じ部屋になる確率は、は1/3=0.333
2番と３番が同じ部屋になる確率は(1-1/3)*1/3=2/9=0.222
(１番と３番が同じ部屋になる確率も2/9)

３番と４番が同じ部屋になる確率は、１番と２番が同じ部屋という
条件なら1/2なので、1/3*1/2=1/6
１番と２番が別の部屋で、かつ１番とも２番とも３番が同じ部屋でない
という条件なら、1/3なので(1-4/9)*1/3=5/15=5/27
よって、1/6+5/27=17/54=0.315

５番と６番が同じ部屋になる確率は
　１番と２番が同じ部屋で３番と４番も同じ：1/6
１番と３番が同じ部屋で２番と４番も同じ：2/9*1/2=1/9
　１番と４番が同じ部屋で２番と３番も同じ：2/9*1/2=1/9
のいずれかの場合なので、1/6+1/9+1/9=7/18=0.389

間違ってたらスマソ

>>5
n: 1以上の自然数
とすると
e*(n/e)^n <= n! <= e*n*(n/e)^n
より
4^n / (e* e^n * n^2) <= e^(-n) * (2*n, n)
だから+∞に発散

この証明なんで収束すると仮定するとh-1=hとなるのでしょうか？
http://mathworld.wolfram.com/BernoullisParadox.html

>>8
ここの No.344 参照。

http://www.junko-k.com/cthema/15zeta1.htm

>>6

6人のうち特定の2人が同室になる確率をシミュレーションでだしてみた。


person.1... person.2... 同室確率
1 1 2 0.3323
2 1 3 0.2212
3 1 4 0.1840
4 1 5 0.1314
5 1 6 0.1273
6 2 3 0.2206
7 2 4 0.1872
8 2 5 0.1341
9 2 6 0.1264
10 3 4 0.2379
11 3 5 0.1590
12 3 6 0.1554
13 4 5 0.1971
14 4 6 0.1992
15 5 6 0.3859

シミュレーション回数を1万から10万に増やした


person.1... person.2... 同室確率
1 1 2 0.33565
2 1 3 0.22310
3 1 4 0.18546
4 1 5 0.12928
5 1 6 0.13020
6 2 3 0.22420
7 2 4 0.18265
8 2 5 0.13074
9 2 6 0.13143
10 3 4 0.24123
11 3 5 0.15762
12 3 6 0.15692
13 4 5 0.19368
14 4 6 0.19190
15 5 6 0.38901

900人を対象に実施したある試験の得点は，平均が300点，標準偏差が30点の正規分布に従うという。
成績が上位100番までの受験者の得点は，何点以上と考えられるか。


800人のYバーをXバーについて解くを考えました。しかし、一次方程式を作れませんでした。
σ^2/n=900/800なども考えました。Zでの変な等式のすごい作業量の計算をしました。
無作為抽出はあっても、上位100番の例題はありません。
先生限界です。もう教えていただけませんか？

>>12
> qnorm(1-100/900,300,30)
[1] 336.6192

> curve(dnorm(x,300,30),0,600,bty='l')
> qnorm(1-100/900,300,30)
[1] 336.6192
> # simulation
> x=300+scale(rnorm(900))*30
> hist(x)
> quantile(x,c(800/900))
88.88889%
337.376
> sort(x,dec=T)[100]
[1] 337.5716

>>12


青の面積が100/900となる＊を正規分布表を使ってだせという問題じゃないの？

>>12
X〜N(300,30^2)
Y=(X-300)/30〜N(0,1)
X=300+30Y
P(X>x)=P(300+30Y>x)
=P(Y>(x-300)/30)=100/900=0.11111
(x-300)/30=1.220640
x=300+30*1.220640

？の角度の解き方の解法を教えて下さい
答えは30°らしいのですが解き方が解りません

>>17左右の開口部を閉じるしかないだよ。左上から反時計まわりに四角形ABCDとして、ACとBDの交点をGとすると、
AB=GBとしか思えない。できればメネラウスの定理かピタゴラスの定理でスカッと出したいところ。
∠BAG=180°-72°-24°-？=84°-？
∠AGB=24°+？
∠BAG=∠AGBより
84°-？=24°+？ ∴？=30°

前>>18
ABを1としたときのBD=x（一辺1の正五角形の対角線の長さx）は、
1/x+1=xを解いて、
1+x=x^2
x^2-x-1=0
x=(1+√5)/2
線分の長さAD=BD=BC=xからAB=GBを出そうと思ったんだけど、メネラウスだと文字3つ式2つじゃ解けないし。結果は間違いないと思うんだけど。

>>3
サイコロを6回振り、選択肢が三つある場合は、(123456)→(AABBCC)
Bが満室になり、選択肢が二つになった場合は、(123456)→(AAACCC)
等と読み替えてカウントするようなプログラムを作りました。

12,13,14,15,16,
23,24,25,26,
34,35,36,
45,46,
56 に対応するカウントが下。合計すると3*6^6　になります。

15552,10368,8640,6048,6048,
10368,8640,6048,6048,
11232,7344,7344,
9072,9072,
18144

6^6　で割って、分数表記すると下です。

1/3 2/9 5/27 7/54 7/54
2/9 5/27 7/54 7/54
13/54 17/108 17/108
7/36 7/36
7/18

>>5
　a_n = e^(-n)･(2n,n)　とおく。

　a_1 = 2/e
n≧2 のとき
　a_n / a_{n-1} = (2n)(2n-1)/(nne)
　= (4 - 2/n)/e
　≧ 3/e,
∴　a_n ≧ (2/3)･(3/e)^n　→ ∞

lim [n→∞] 4^(-n)･(√n)･(2n,n)
を求めよ。
（(m,k)は二項係数）

>>23
2・4^(-2n)・n・(2n,n)^2 = (2n)・((2n-1)!!/(2n)!!)^2 → 2/π (Wallisの公式)

4^(-n)・(√n)・(2n,n)→1/√π

>>24
　正解です!!

>>17
A,B,C,Dを >>18 のようにおく。
AD = DB = BC = 1 とすると、底辺ABの長さは正弦定理から
　AB = sin(36ﾟ)/sin(72ﾟ) = 1/{2cos(36ﾟ)} = sin(30ﾟ)/sin(54ﾟ),
底辺ABを共有するもう一つの三角形の頂角ABC=x に対して、底角BACは 84ﾟ-x
になるが、これに正弦定理を適用すると、
　AB = sin(x)/sin(84ﾟ-x),

∴　sin(x)sin(54ﾟ) = sin(30ﾟ)sin(84ﾟ-x)
ところで
　sin(x)sin(54ﾟ) = [cos(54ﾟ-x) - cos(54ﾟ+x)]/2,
　sin(30ﾟ)sin(84ﾟ-x) = [cos(54ﾟ-x) - cos(114ﾟ-x)]/2,
よって
　cos(54ﾟ+x) = cos(114ﾟ-x),
　54ﾟ+x = 114ﾟ-x,
　x = 30ﾟ

[前スレ.919,946,949]

前>>18
今みんなで正弦定理を使わない解き方を考えてたところでした。

>>20
参考にしたいので
できればソースをどこかにあげていただきたい。

>>23
>（(m,k)は二項係数）
(m-k,k)と書くのが普通だと思うよ
(n1,n2,…,nk)=(n1+n2+…+nk)!/Π(ni!)

Σ[n=0,∞]{(π/2)・4^(-2n)・(2n,n)^2 - 1/(2n+1)}
を求めよ。
((m,k)は二項係数)

>>21
すばらしい！
c(1/3,2/9,5/27,7/54,7/54,
2/9,5/27,7/54,7/54,
13/54,17/108,17/108,
7/36,7/36,
7/18)
=
[1] 0.3333333 0.2222222 0.1851852 0.1296296 0.1296296 0.2222222 0.1851852 0.1296296 0.1296296
[10] 0.2407407 0.1574074 0.1574074 0.1944444 0.1944444 0.3888889
>11の近似値と合致

>>30
ln2

>>32
導出過程は？

>>19
>>26
ありがとうございました
求められました！

郵便局(投信かんぽ)詐欺事件
(約18万件の詐欺被害は氷山の一角)

消えた年金問題より深刻な事態

返金問い合わせ！
NHK
https://www.nhk.or.jp/gendai/kiji/153/index.html

※ゆうちょ銀行・かんぽ生命
書類有効返金なし

>>17
図の、等しい長さを半径とする二つの円を描き、
24+36=60を利用して、正三角形を二つ描けば解ける。

>>36
kwsk

>>27
折れ線の長さが等しくないときの一般解の方が面白い。
偏角使えばすぐできるけど。

>>28

少々のコメントと、小数表記出力を加えたソースと実行結果です。

http://codepad.org/5OkQN9DL

>>3
結局
m人をa1人〜an人に部屋分けするとは
Ωm={1,…,m}=ΣAk : #Ak=akに直和分解するということ
このような直和分解(A1,…,An)が与えられたとき
それが起こる確率をP(A1,…,An)とすれば
σ∈Snに対してP(Aσ1,…,Aσn)=P(A1,…,An)　（部屋番の入れ替えで同一）
P(A1,…,An,Φ)=P(A1,…,An)　（入れない部屋は有っても無くても同じ）
P(A1)=1　（一部屋しかなければ必然）
うーん
これから漸化式どうすればよいやら

2A=B^2+B
上の式でAが解かっているとき、Bを求める式を教えて下さい
お願いします

>>41
高校で習った２次方程式の解の公式使えばいいでしょ。
B={-1±√(1+8A)}/2

>>42
教えてくださりありがとうございました！！

体積積分にした後の積分範囲が上手く決められないです
どなたか教えて下さい

とりあえずdivは？

>>39
ありがとうございます。やはりCで書かれておりましたか。
以前にも教えていただいた方かと存じます。
これをRに移植するのは私の手には負えないので、Rで最初から作ってみました。
整数表示はできておりません。

ra2p <- function(x){ # 部屋割り配列からその確率を返す room allocation to probability
n=length(x)
y=numeric(3) # ルーレット後にA,B,Cに埋まった人数の数列
z=0 # ルーレット後に満室の数
p=numeric(n) # 収容可能な部屋から特定の部屋が選ばれる確率の配列
p[1]=1/3

for(i in 1:(n-1)){
xi=x[1:i] # i番目までの部分数列
y=c(sum(xi==1),sum(xi==2),sum(xi==3)) # A,B,cの収容人数
z=sum(y==n/3) # 満室の数　0 〜３
p[i+1]=c(1/3,1/2,1,1)[z+1] ;p # 1/(残り部屋種類数)　1/3, 1/2, 1のいずれか
}
prod(p)
}

# sum(apply(dat3,1,ra2p)) # 総和１を確認

srp <- function(x){ # a,bが同室の部屋割り配列の確率を総和する
a=x[1]
b=x[2]
sum(apply(dat3[dat3[,a]==dat3[,b],],1,ra2p))
}

p=combn(n,2,srp) # 組合わせごとに実行
person=combn(6,2)
data.frame(person[1,],person[2,],同室確率=p)

結果は一致したようです。
person.1... person.2... 同室確率
1 1 2 0.3333333333
2 1 3 0.2222222222
3 1 4 0.1851851852
4 1 5 0.1296296296
5 1 6 0.1296296296
6 2 3 0.2222222222
7 2 4 0.1851851852
8 2 5 0.1296296296
9 2 6 0.1296296296
10 3 4 0.2407407407
11 3 5 0.1574074074
12 3 6 0.1574074074
13 4 5 0.1944444444
14 4 6 0.1944444444
15 5 6 0.3888888889

9人を定員3の3部屋に分ける場合、同室になる確率。

> data.frame(person[1,],person[2,],同室確率=p)
person.1... person.2... 同室確率
1 1 2 0.3333333333
2 1 3 0.3333333333
3 1 4 0.2962962963
4 1 5 0.2592592593
5 1 6 0.2345679012
6 1 7 0.1985596708
7 1 8 0.1723251029
8 1 9 0.1723251029
9 2 3 0.3333333333
10 2 4 0.2962962963
11 2 5 0.2592592593
12 2 6 0.2345679012
13 2 7 0.1985596708
14 2 8 0.1723251029
15 2 9 0.1723251029
16 3 4 0.2962962963
17 3 5 0.2592592593
18 3 6 0.2345679012
19 3 7 0.1985596708
20 3 8 0.1723251029
21 3 9 0.1723251029
22 4 5 0.2777777778
23 4 6 0.2530864198
24 4 7 0.2124485597
25 4 8 0.1838991770
26 4 9 0.1838991770
27 5 6 0.2901234568
28 5 7 0.2402263374
29 5 8 0.2070473251
30 5 9 0.2070473251
31 6 7 0.2772633745
32 6 8 0.2379115226
33 6 9 0.2379115226
34 7 8 0.3371913580
35 7 9 0.3371913580
36 8 9 0.5169753086

とても３０人での435通りにはオーバーフローして算出は無理でした。

>>37
>>17の図のＺ形の折れ線の端を、左上から順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとする。
Ｃを中心として半径ＣＢ＝ＣＤの円Ｅを描く。
次にＣＤを底辺とする正三角形を描き、その頂点と円Ｅとの交点をＦとする。

するとＡＦはＣＢと平行である。
なぜならＡＢとＣＦは長さが等しく、ＣＢとなす角も36°で等しいから。
ゆえに∠ＡＦＣ＝36°
また∠ＡＣＦも36°である。
なぜなら二等辺三角形ＢＡＣの底角72−36＝36°だから。
ゆえにＡＣＦは二等辺三角形だからＡＣ＝ＡＦ。

ゆえに△ＡＣＤと△ＡＦＤは三辺が等しいから合同。
ゆえにｘ＝30°

なぜかIDが変わっているが、>>36の投稿は僕である(笑

名前を入れると質問少年が粘着して来るから入れなかった(笑

パソコンが壊れそうなので、投稿は控えている(笑

絶対収束する無限級数は足す順番を入れ替えることが出来る、と習いました。
すなわち、どんな全単射ρ:N→Nに対しても絶対収束するなら蚤_n=蚤_ρ(n)である、という説明でした。
しかしこれでは、nの偶奇で場合分けして足すことが正当化出来ない気がします。
123456789を135792468と並べ替えることは出来ますが、これが自然数全体になってくると全単射を構成するのは無理な気がします。
nの偶奇で場合分けして無限級数を計算することはどういう場合に限り正当化出来るのか教えてください。

>>48
おお、なるほど！GJ!!

前>>53
AC:CF=2:1+√5
∠ACF=∠ACB-∠FCB
=72°-(60°-24°)
=36°
△ACFの辺の比となす角は正五角形の一辺と対角線のそれであるから、
∠AFC=36°こうじゃないか。

前>>55
ADとCFが直交するから、
？=∠CDA=60°/2=30°
正五角形の中に正三角形を描くなんてずるいな。
もっとメネラウスとかでポンッと出してみろよ。

>>56
もっとズルいのが複素平面で偏角を使って解く方法。
幾何の知識ほぼ０でも解けちゃう。
こんな感じ


Rのソースはhttp://2chb.net/r/hosp/1575242106/662

それはあかん。
Rはあくまで近似計算しかできん。

iとかeとかわかりにくい。前>>56メネラウスでどうやって解くか。

以下の2つの方程式がともに実数解のみを持ち、かつ2つの方程式でそれらの解がすべて一致するように、実数aの値を定めよ。
ただし、実数sに対して[s]はsを超えない最大の整数を表す。

x^3-ax^2+2=0
[x]^3-a[x]^2+2=0

>>58
いや、単に数式を書いてRに計算させるだけだぞ。
二次方程式の解の公式に係数を入力して計算させるのと同じ。

# 長さL,M,NのZ尺を角度A°（LとMのなす角）、B°（LとMのなす角）で折り曲げたとき
# 先端と終端を結ぶ線とZ尺の作る角度および先端と終端の距離
#

L=1；M=1；N=1；A=36；B=24
alpha=B/180*pi
beta=A/180*pi
a=M/N
b=L/N
P=a*(cos(alpha)+1i*sin(alpha))
Q=P+b*(cos(alpha+pi-beta)+1i*sin(alpha+pi-beta))
Langle=(pi-Arg(Q-1))/pi*180 # degree of Q-1-0
Uangle=Arg(Q-P)/pi*180 - Arg(Q-1)/pi*180 # degree of P-Q-1
length=abs(Q-1)*N # length of Q1

(±1)(±1)+(±1)(±2)+(±1)(±2)≡1 (mod 2)

>>61
だからその計算が数値計算だっての。
多分なんでダメか君にはわからん。
計算論ちゃんと勉強してないと無理。

>>59
折れ線が長さL,M,Nとして
角度A°（LとMのなす角）、B°（LとMのなす角）のときの計算式はメネラウスで出せるの？

>>63
偏角使って計算するだけだから、他のソフトでもできるだろ。

wolframで解いた回答も前スレにあったし。

http://2chb.net/r/math/1567866548/938

他のソフトでも出来るね
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28180%2Fpi%29*arg%281%2Bexp%28i*%2813%2F15%29pi%29%2Bexp%28i*%281%2F15%29pi%29%29

前>>59
>>64折れ線の長さは、
左上と左下の頂点間の距離aにたいして三本とも同じ長さで、
(1+√5)a/2
です。

前>>59
>>64折れ線の長さは、
左上と左下の頂点間の距離aにたいして三本とも同じ長さで、
(1+√5)a/2
です。

開運!!

>>65
だから君には私がなに言ってるか理解するのは無理。
他のちゃんと計算論勉強した事があるか、もしくはそこまで行かなくてもコンピュータにいかに人間のかわりに計算、証明ができるかキチンと考えた事ある人間なら私がなに言ってるか最初のレスで分かったはず。
もうこの時点ですらそんな事いってるようでは到底理解できないよ。

>>69
いや、手作業でやっていることを計算機に計算させているだけだろ。
手作業の分数表示が小数表示になるだけ。
乱数発生でのシミュレーションは疑似解だけど
該当する候補を虱潰しに列挙して確率を総和しているのは別に擬似解じゃないぞ。

> 1/2*1/3
[1] 0.1666666667
を
1/6と書くかの差だろ？

>>67
同じ長さじゃないときの角度計算をしたいだけの話。

こういうプログラムを書きたかっただけの話。

長さが２，３，１で角度が３０°６０°の場合

違う。
Rがやってるのは数値計算。
抽象代数計算は標準のライブラリではやってない。
もちろんチューリング完全だから抽象代数計算させるプログラムを組めばいいが標準のライブラリは数値計算。

>>72
角度を求めよ、という問題だったから、数値で答えればいいんじゃね？

>>73
違う。
仮に計算機が30.000000と言う値を出したとしてもそれでわかるのは30.000000±0.00000001という事でしかない。
人間や抽象代数計算のライブラリがあるソフトなら答えが正確に30になる事の証明を与える事ができる。
そのプログラムはそこまで難しくはないけど標準で入ってるソフトは多分ない。
私は昔作ったことあるけど遅いし問題を立式して方程式を与えるとこまでは手計算でしないといけない仕様でめんどくさくて実用性は全然だった。
30.000000±0.0000001だから30でいいと思えるならそれでどうぞ。

>>56

>>59

>>64
　出ません

>>17
何だかんだ言って図を描いたほうがわかりやすいかもね


BE=BD、∠EBD=36°、∠EBC=60°となるように点Eをとり、BEとADの交点をFとする
・∠FBD=∠FDBだから BF=DF、これと BE=DA より FE=FA
　さらに∠BFD=∠EFAだから、�傳FD∽�僞FA
　よって∠FEA=∠FBD=36°�@
・AD=BDだから∠ABD=∠BAD=(2∠R-∠ADB)÷2=72°
　よって∠ABE=∠ABD-∠EBD=36°�A
・∠CBE=60°、BC=BEだから�僂BEは正三角形
　よって、BC=EC�B
・�@、�Aより、AB=AE これと�Bより、�僊CB≡�僊CE
　よって∠ACB=∠ACE=∠BCE÷2=30°

>>74
計算器の精度を知っていればいいんじゃないの？
こういうのがプログラムのバグの原因になったりするけど。


> (1.2-1)*5
0.9999999999999998

> 0.72*5-3.6
-4.440892098500626e-16

>>77
やっぱりまったく分かってもらえないようだ。
ここまで説明してわからないならやっぱり君には理解できないよ。

前>>67-68
>>17答えは30°でいいと思う。
ただ出し方が正五角形とか正三角形とか自然界の偶然にあまりに委ねすぎてる感があって、実感が持てないというか、たまたま結果オーライというか。
メネラウスの定理で左上と左下の頂点間の長さとその線分と36°をなすその(1+√5)/2倍の線分上の折れ線の端と端を結んでできる交点までの長さがちょうど同じ長さになるとわかったら、それがいいと思うんだよなぁ。

>>77
例えばこういう例(なぜeやπは様々な性質を持つのか？-63)：

> P = ln(640320^3 + 744)/√163
> はπと30桁一致するが、πとは異なる超越数である。

は通常の計算機の精度ではπと区別がつかず、
某関数電卓ではPをπと誤って表示するそうです。

いくら計算機の誤差を認識していてもこういう例は無数に存在するので、
数学の証明には直接使えない。

これはまぁかなり哲学的なこだわりでもあるからなぁ。
ある意味数学畑の人間しか理解できないかもしれない。
計算機で30.の後ろに例え0が100個並んだとしても数学畑の人間には、答えは30とわかった、どうやって証明しようと考え始めるだけの話で答えが出たとは思わない。
もちろん何度か求めよから30°である事を示せに変わっただけでグッと難易度は下がる、でもそれだけ。
数学畑の人間じゃない人にはバカじゃないと思われてもしょうがない所なのかもしれないけど。

>>80
それを区別する必要があるかどうかは出題者が求めてるもの次第だし
駄目と一概に否定するような話じゃないでしょ

>>81
哲学的なこだわりというか空気読めてないだけだと思うぞ

数学の問題で計算機で計算して誤差0.000001ならもうOKなんて事は有り得ないでしょ？
そもそも出題者に納得してもらえないからダメなんじゃなくて±10^(-100)の誤差でも納得しないのは自分自身だよ。
逆に言えばおそらくそんなこだわりを理解してもらえるのは同じ数学畑の人間にだけわかってもらえれば十分だし、そうでないはたけあの人が30.00000なんだから30でいいだろってのは、そっちはそれでわかるしね。
この辺のこだわりがわからない人に無理にわかってもらおうとは思わない。

実用上は
>(1+1/10-1)*10==1
[1] FALSE
> (1-1+1/10)*10==1
[1] TRUE
こういうのがあるから困る。
n進法の小数点表示プログラムを書こうとしたときデバッグしていて気づいた。

前>>79別解。もっとも自然な解き方。右利き向け。ずるくない。
>>17折れ線の左上をA、右上をB、左下をCとすると、
AB=BC、∠ABC=36°
AB=BC=CD、∠BCD=36°となるDをとり、
AB=BC=CD=DE、∠CDE=36°となるEをとると、
AB=BC=CD=DE=EA、∠DEA=36°となった。
∠BAEの二等分線を引くとCDと直交し、折れ線の端に達するから、
？=90°-(36°+24°)
=30°
∴示された。

>>85
丸め誤差と呼ばれる
実数を扱う場合もっとも留意が必要な事柄のひとつ

三角形ABCに内接する楕円で面積が最大になるとき
面積を辺の長さa,b,cを用いて表すとどうなるか

π√s(s-a)(s-b)(s-c)/27)

二次関数のグラフに関して気持ち悪くなってきたので質問させて下さい

xy平面に2次関数のグラフは描けますね
これは問題ない
y軸と交わればそれが方程式の解になる
これもOK
交わらないものの解は複素数になる、それは実軸と虚軸で表せる、これもOK

最初のxy平面を3次元にするとz軸が余ります
これを虚軸にしてあげれば、複素数の点が描けますね
3DCGソフトでY軸からXZ平面を見てる感じです

さて、こうなるとグラフは3次元空間でy軸とクロスするはずですね？
グラフを3次元で描くとどうなるんでしょうか？

そもそもZ軸を虚軸にするって言うのが数学的におかしいですかね？

四元数の話？

>>91
初めて聞きました
工学部では習わなかった

>>60
f(x)=x^3-ax^2+2
f'(x)=3x^2-2ax=x(3x-2a)=0
x=0,2a/3
f(0)=2>0, f(2a/3)=8a^3/27-4a^3/9+2=-4a^3/27+2=-4/27(a^3-27/2)≦0
a≧3/2^(1/3)
f(α)=0
f([α])=0
n=[α]∈Z
n≦x<n+1
n=[x]
f([x])=0
NG

>>90
>y軸と交わればそれが方程式の解になる
>これもOK
ｘ軸
>そもそもZ軸を虚軸にするって言うのが数学的におかしいですかね？
別におかしくはない
xyz空間内に
y=(x+zi)^2=(x^2-z^2)+2xzi
xz=0
y=x^2-z^2
z=0, y=x^2の曲線と
x=0, y=-z^2の曲線が描けるというだけでツマラン
ツマラン理由はyが実数だから
スコシ面白いのは
z+wi=(x+yi)^2から
z=x^2-z^2
w=2xy
にしてz軸とw軸を同じ軸としてxyz(w)空間に2枚の曲面を描く等
複素2次関数を認識すること
複素函数の認識ではこのような方法ではなく
x+yi平面とz+wi平面の対応を曲線対応で認識する（ある種等高線のようなもの）のが一般的

>>90
複素数を定義域にする二次関数の実部を取ればええんでないの？
たとえば、f(x)=x^2+1っていう二次関数に対しては、f(x+iy)=(x+iy)^2+1
っていう複素関数を考えて、その実部だけとるとか。
実部をzとすると、z=x^2-y^2+1　という馬の鞍型の曲面がそのグラフに
なる。虚部も０になる( xy=0）という条件を加えると、この曲面を平面、
yz平面で切った切り口の曲線で、それぞれ、z=-y^2+1 と z =x^2+1
という放物線になる。xy平面と交差する（z=0）のはz=-y^2+1のほう。

ごめん、テレビみながらのんびり書いてるうちに、>>94と被っちゃいましたね。

あと、一部脱字があるので訂正。
>虚部も０になる( xy=0）という条件を加えると、この曲面を平面、
虚部も０になる( xy=0）という条件を加えると、この曲面をxz平面、

>>87
10進法の0.1は切りのいい数字に思えるけど
２進法のだと無限循環小数0.01100110011001100110...だからと思っている。
1/8は有限小数だから
> (1+1/8-1)*8==1
[1] TRUE

>>47
6人固定では無く、多人数対応版を作りました。(%define N 6 と書かれている部分の 6 を　変更。)
codepad　では、のタイム制限のため18人が限界でしたが、あげておきます。
http://codepad.org/a26eGzbn

家のパソコンでは24人の計算が、1時間くらいかかったので、30人はきつそうです。
最後の方の出力を添付します。
18,21 : 1676106446227881984 (0.3537297500039)
18,22 : 1641736445103673344 (0.3464762179072)
18,23 : 1641736445103673344 (0.3464762179072)
19,20 : 2006126487611449344 (0.4233780154811)
19,21 : 1939130795867553792 (0.4092390749948)
19,22 : 1902620050033250304 (0.4015337547119)
19,23 : 1902620050033250304 (0.4015337547119)
20,21 : 2317796304041189376 (0.4891536030028)
20,22 : 2279025883235119104 (0.4809713951901)
20,23 : 2279025883235119104 (0.4809713951901)
21,22 : 2774399932531519488 (0.5855163893403)
21,23 : 2774399932531519488 (0.5855163893403)
22,23 : 3368802401881104384 (0.7109605920984)

>>94、95
丁寧にありがとうございます
おかげでなんだかモヤモヤしたのが解けました

>>98
俺もRで
# rmax=3 # 部屋の数
# rcap=2 # 各部屋の定員
# a=5 # 対象者の番号
# b=6 # 対象者の番号
を指定できる汎用版を作った

コードはこれ

http://2chb.net/r/hosp/1575242106/667

Cと違ってRだと人数12人が限度だった。

>>98
定員10人の3部屋30人で29番と30番の同室確率はシミュレーションで
> mean(replicate(1e6,sim(n=30,a=29,b=30)))
[1] 0.741349
になるようだけど
プログラムでの数え上げでは一晩かかっても終わりそうにないなぁ。
メモリー不足のエラーで固まりそう。

>>88
　一次変換により�僊BC を正三角形△A'B'C'に移す。面積は|J|倍になる。
　△の面積は {(√3)/4}aa,　(a：一辺の長さ)
　△に内接する面積最大の楕円は内接円で、半径 r=(1/2√3)a, 面積 πrr=(π/12)aa,
　両者の面積比はπ/√27,
　逆変換すると、両面積とも 1/|J| 倍になるが、面積比は変わらない。　>>89

>>89
　s=(a+b+c)/2 だから
　(π/4)√{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/27}

>>102
>>103
すごいけど
ヘロンの公式とアルキメデスの定理でしょ。

>>102
>>103
こんなきれいな文字は今年はじめてみた。
すみのはちだんぱそこんだからな。

�凾ﾌ面積をSとする。
内接する楕円の面積の最大値
　T1 = (π/√27)S
内接円の面積
　T2 = π(S/s)^2
GM-AM より
　S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
　≦ √{s(s/3)^3}
　= (1/√27)ss,

∴　T1 ≧ T2

>>106
みたものを計算機回路でうち(つ)しただけのしろものにすぎない。
私には勝てないな。
天からおりてくるみかえるにも踏まれないぞ。コンスタンティン。

三角形ABCに外接する楕円の面積が最小になるとき、
面積を辺の長さa,b,cを用いて表すとどうなるか？

�凾ﾌ面積をSとする。
外接する楕円の面積の最大値
　T'1 = 4T1 = 4(π/√27)S,
外接円の面積
　R = abc/4S より
　T'2 = πR^2 = π(abc/4S)^2

　T'1 ≦ T'2　？

以下の条件を満たす複素数α、βの関係式を述べよ。

『複素数平面の実軸上の点A(α)と虚軸上の点B(β)を考えると、点C(αβ)は直線AB上にあり、かつOCとABは直交する』

方程式
x^3-kx=[x]^3-kx=x^3-k[x]=[x^3-kx]
が実数解のみを持つとき、kの範囲を求めよ。

>>111
ツマンネ

>>109
S = (1/2)sin(A)･bc = (1/2)sin(B)･ca = (1/2)sin(C)･ab,
辺々掛けて
S^3 = (1/8)sin(A)sin(B)sin(C)・(abc)^2
　≦ (1/8) sin((A+B+C)/3)^3・(abc)^2
　= {(√3)/4}^3・(abc)^2,
より
　S ≦ {(√3)/4}(abc)^(2/3),
∴　T'1 ≦ T'2

ところで内接楕円と外接楕円は相似で、相似比１：２.
∴　4T1 =　T'1
∴　4(πrr) = 4T2 ≦ 4T1 = T'1 ≦ T'2 = πRR
∴　2r ≦ R

ガウス記号と3次方程式を組み合わせた傑作を作問してください

〔内接楕円〕 �僊BCに内接する楕円のうち面積が最大のもの。
〔外接楕円〕 �僊BCに外接する楕円のうち面積が最小のもの。
両者は相似で、相似比は１：２
面積はそれぞれ (π/√27)S, 4(π/√27)S である。 (Sは�僊BCの面積)

純虚数αβは虚軸上。

>>101
元々の問題は、最後の二人が同じ部屋になる確率は大きくなるのでは？　というようなものだったと思います。
この質問に答えるだけならば、全く別の方法がありました。
3N-2人の部屋振りが終了したとき、(N,N-1,N-1)等という割り振りだと、最後の二人は異なる部屋に行きます。
(N,N,N-2)等という割り振りだと、同じ部屋に行きます。
この点に注目して作ったプログラムです。30人でも、一瞬です。

http://codepad.org/ahMMd8ki

統計的推定について質問です
統計的推定問題では確率変数が与えられているのですか？その場合確率空間の確率測度の像測度をとればいいので違いますよね
だとすると、確率変数の値がいくつか与えられているということだと思いますが、これは確率変数も推測するということですか？

kn人をルーレット方式でk部屋に分ける場合。
最後の2人が同部屋という事象をXとする。
最後のにまで残る2部屋がABである事象をE1として、R1下での条件付き確率を比較してよい。最後の2人を除くkn-2人から(k-2)n人を選んだ集合Sに対しこのSに属する人間がAB部屋意外を選ぶ事象をE2(S)として
P(X)=P(X|E1)=ΣP(E2(S))P(X|E2(S))
であるからP(E(2(S))について調べる。
Sに属しないxに対して
P(xがAに入る|E2(S))
=0 if xより前のSにAが売り切れたとき。
=1 if xより前のSにBが売り切れたとき。
=1/2 iotherwise
であるからこの条件下での試行はk=2である場合の試行と同じになる。
この場合最後の2人が同じ部屋にはいるのは前の2n-2人によってA部屋,B部屋がn-1回ずつ選ばれた場合であり、その確率は
C[2n-2,n-1](1/2)^(2n-2)
である。
これはn=1のとき1、n=2のとき1/2、n>2のとき1/2より小さい。

6人を2部屋の場合の確率が5/8
6人を3部屋の場合の確率が7/18

あれ？ホント？どっか間違えた？

あ、わかった。>>120は撤回します。

8人を2部屋の場合の確率は11/16
8人を4部屋の場合の確率は
AABBCC 443322
AABCBC 443332
AABCCB 443332
ABABCC 444322
ABACBC 444332
ABACCB 444332
ABBACC 444322
ABBCAC 444332
ABBCCA 444332
ABCABC 444432
ABCACB 444432
ABCBAC 444432
ABCBCA 444432
ABCCAB 444432
ABCCBA 444432
4!(443+4422+4332+4432+6332)/444433322
=(43+422+332+432+333)/44332=(12+16+18+24+27)/288=97/288
あら1/2より小さいな
こりゃ単純な思い込みでは洞察にならんか
9人を3部屋だと
AAABBBC
AAABBCB
AAABCBB
AAACBBB
AABABBC
AABABCB
AABACBB
AABBABC
AABBACB
AABBBAC
AABBBCA
AABBCAB
AABBCBA
AABCABB
AABCBAB
AABCBBA
AACABBB
AACBABB
AACBBAB
AACBBBA
ABAABBC
ABAABCB
ABAACBB
ABABABC
ABABACB
ABABBAC
ABABBCA
ABABCAB
ABABCBA
ABACABB
ABACBAB
ABACBBA
ABBAABC
あーもやだ3(3,3,1)=3*7!/3!3!=420通りもある

まぁもう計算機の考察はいいや。
そろそろ証明あげたいね。

>>71

のように名付けて
角P（もとの問題では３６°）、角Q（２４°）を変化させて角Iの大きさをグラフ化してみた。


＊が３６°２４°のとき。

9人を3部屋で1部屋目の満室がi人目と2部屋目の満室がj人目だとすると
3≦i≦5, 6≦j≦7
でなくてはならないから
(i, j)=(3,6) (1/3)^3(1/2)^3
(i, j)=(3,7) 3C2(1/3)^3(1/2)^4
(i, j)=(4,6) 3C2(1/3)^4(1/2)^2
(i, j)=(4,7) 3C2*3C2(1/3)^4(1/2)^3
(i, j)=(5,6) 4C2(1/3)^5(1/2)
(i, j)=(5,7) 4C2*3C2(1/3)^5(1/2)^2
3!/333332222(332+333+3322+3332+23222+23322)
=(32+33+322+332+2222+2322)/333222
=(6+9+12+18+16+24)/333222
=85/216<1/2

2n人を2部屋の場合1部屋目の満室がi人目とすると
n≦i≦2n-2でなくてはならないから
2!Σ[i=n, 2n-2] (i-1)C(n-1) (1/2)^i
3n人を3部屋の場合1部屋目の満室がi人目2部屋目の満室がj人目とすると
3!Σ[i=n, 3n-3]Σ[j=max(i+1,2n), min(i+n, 3n-2)] (i-1)C(n-1)*(j-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^(j-i)
かな
ちょっとjの範囲は自信なし

>>124
３０人を３部屋で
２９番と３０番が同じ組になる場合の数は
> 3*factorial(28)/factorial(10)/factorial(10)/factorial(8) # 3*28!/(10!*10!*8!)
[1] 1722723142140
とても虱潰しじゃあ、扱えないぁ。

一部屋目の満室は最低n人目
最大では2部屋目1人分3部屋目2人分は残すので
n≦i≦3n-3
iが何人目でも2部屋目が満室となるのが最も早いのはj=2nのとき
またi+1≦jも当然
最大ではiが何人目でも3部屋目2人分を残すので
max(i+1,2n)≦j≦3n-2
ということで3n人を3部屋の場合
3!Σ[i=n, 3n-3]Σ[j=max(i+1,2n), 3n-2] (i-1)C(n-1)*(j-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^(j-i)
かな

>>124
９人３部屋の場合を計算させてみた。　乱数発生でのシミュレーションでなくて虱潰しに列挙して加算。
person1 とperson 2が同室になる確率。
> data.frame(person[1,],person[2,],同室確率=p)
person.1... person.2... 同室確率
1 1 2 0.3333333333
2 1 3 0.3333333333
3 1 4 0.2962962963
4 1 5 0.2592592593
5 1 6 0.2345679012
6 1 7 0.1985596708
7 1 8 0.1723251029
8 1 9 0.1723251029
9 2 3 0.3333333333
10 2 4 0.2962962963
11 2 5 0.2592592593
12 2 6 0.2345679012
13 2 7 0.1985596708
14 2 8 0.1723251029
15 2 9 0.1723251029
16 3 4 0.2962962963
17 3 5 0.2592592593
18 3 6 0.2345679012
19 3 7 0.1985596708
20 3 8 0.1723251029
21 3 9 0.1723251029
22 4 5 0.2777777778
23 4 6 0.2530864198
24 4 7 0.2124485597
25 4 8 0.1838991770
26 4 9 0.1838991770
27 5 6 0.2901234568
28 5 7 0.2402263374
29 5 8 0.2070473251
30 5 9 0.2070473251
31 6 7 0.2772633745
32 6 8 0.2379115226
33 6 9 0.2379115226
34 7 8 0.3371913580
35 7 9 0.3371913580
36 8 9 0.5169753086

>>117
いつも、華麗なコードのアップロードありがとうございます。

１００万回のシミュレーションも３桁の一致にとどまることが認識できました。
> mean(replicate(1e6,sim(n=30,a=29,b=30)))
[1] 0.741349

i<nのとき(i-1)C(n-1)=0だからi≧nを条件にしなくても良いし
j<2nのとき(j-n-1)C(n-1)=0だからj≧2nを条件にしなくても良い
とすると
3!Σ[i=1, 3n-3]Σ[j=i+1, 3n-2] (i-1)C(n-1)*(j-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^(j-i)
=3!Σ[i=1, 3n-3]Σ[k=1, 3n-i-2] (i-1)C(n-1)*(i+k-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^k
=3!Σ[1≦i, k, i+k≦3n-2] (i-1)C(n-1)*(i+k-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^k
でどうかな
i+k-n-1≧n-1
から
i+k≧2n
なので
3!Σ[1≦i, k, 2n≦i+k≦3n-2] (i-1)C(n-1)*(i+k-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^k
でいいかも

>>124
>=(43+422+332+432+333)/44332=(12+16+18+24+27)/288=97/288
>あら1/2より小さいな
1/2と比較しても仕方なかった
97/288>1/4
>>127
>=85/216<1/2
1/2と比較しても仕方なかった
85/216>1/3
でいずれも12番同室より確率は高いから
単純な洞察「残り部屋を等確率で選択」の場合
「最初の2名が同室になる確率よりも最後の2名が同室になる確率が大きい」
で問題無さそう

９人３部屋で同室になる確率の高い順

> cbind(t(person[,rev(order(p))]),rev(sort(p)))
[,1] [,2] [,3]
[1,] 8 9 0.5169753086
[2,] 7 9 0.3371913580
[3,] 7 8 0.3371913580
[4,] 1 3 0.3333333333
[5,] 1 2 0.3333333333
[6,] 2 3 0.3333333333
[7,] 1 4 0.2962962963
[8,] 2 4 0.2962962963
[9,] 3 4 0.2962962963
[10,] 5 6 0.2901234568
[11,] 4 5 0.2777777778
[12,] 6 7 0.2772633745
[13,] 3 5 0.2592592593
[14,] 1 5 0.2592592593
[15,] 2 5 0.2592592593
[16,] 4 6 0.2530864198
[17,] 5 7 0.2402263374
[18,] 6 9 0.2379115226
[19,] 6 8 0.2379115226
[20,] 2 6 0.2345679012
[21,] 1 6 0.2345679012
[22,] 3 6 0.2345679012
[23,] 4 7 0.2124485597
[24,] 5 9 0.2070473251
[25,] 5 8 0.2070473251
[26,] 2 7 0.1985596708
[27,] 3 7 0.1985596708
[28,] 1 7 0.1985596708
[29,] 4 9 0.1838991770
[30,] 4 8 0.1838991770
[31,] 1 9 0.1723251029
[32,] 1 8 0.1723251029
[33,] 3 9 0.1723251029
[34,] 3 8 0.1723251029
[35,] 2 9 0.1723251029
[36,] 2 8 0.1723251029
>

900人を対象に実施したある試験の得点は，平均が300点，標準偏差が30点の正規分布に従うという。
成績が上位100番までの受験者の得点は，何点以上と考えられるか。

>>136
> sd=30
> mu=300
> pdf <- function(x) 1/(sqrt(2*pi)*sd)*exp(-(x-mu)^2/(2*sd^2))
> cdf <- function(x) integrate(pdf,x,Inf)$value
> uniroot(function(x) cdf(x)-100/900,c(200,400))$root
[1] 336.619213

平面上に2点A(2，3)，B(5，3)と直線x+y-2=0がある。この直線上に点Pをとるとき，
AP+BPを最小にするような点Pの座標を求めよ。

疲れました。教科書ガイドに載っているような一番単純でまともな解き方を、
大変面倒なところ申し訳ないのですが、もう教えていただけないでしょうか？
自分の勝手な都合で教科書ガイド持っていなくて大変申し訳ありません。

>>139
P(p,2-p)とおく。
AP=√(p-2)^2+(-1-p)^2
=√(2p^2-2p+5)
BP=√(p-5)^2+(-1-p)^2
=√(2p^2-8p+26)
APはp=1/2のときに最小、BPはp=2のときに最小
したがってAP+BPはp=(1/2+2)/2=5/4のときに最小

あとは代入

900人を対象に実施したある試験の得点は，平均が300点，標準偏差が30点の正規分布に従うという。
成績が上位100番までの受験者の得点は，何点以上と考えられるか。

疲れました。教科書ガイドに載っているような一番単純でまともな解き方を、
大変面倒なところ申し訳ないのですが、もう教えていただけないでしょうか？
自分の勝手な都合で教科書ガイド持っていなくて大変申し訳ありません。

>>141
前スレに回答したけど？

>>140
何に何を代入するのかわかりません。pの座標がばらばらです。答えは(1，1)ですよ。

>>142
最初に質問したのはこのスレの>>12です。

>>144
じゃあ>>16

>>143
チッ
騙されねえかw

線を描くだけ！万能視覚的かけ算【インド式計算】


中学数学からはじめる微分積分

;t=4341s
中学数学からはじめる相対性理論

;t=10s
理学部と工学部の違いとは？

;t=80s
大学と大学院の違い


東大院生がYouTuberになった理由


塾講師をはじめる君へ【新人講師・教師の方へ】


なぜ勉強するのか

>>139
面倒なのでPCで解く、P(p,2-p)として

f <- function(p,A=2+3i,B=5+3i){
P=p+(2-p)*1i
abs(A-P)+abs(B-P)
}
optimise(f,c(-50,50),tol = .Machine$double.eps)

> optimise(f,c(-50,50),tol = .Machine$double.eps)
$minimum
[1] 1

$objective
[1] 6.708204

p=1 ゆえ P(1,1)

>>139
x+y-2=0に対してBと線対称の位置にある点B’(-1,-3)を考えればいい。
AP+BP=AP+B’Pだが、AP+B’Pが最小になるのはAPB’が直線上に
ある場合なのは自明。
直線APB’の方程式はy=2x-1なので、これとx+y-2=0の交点が求めるP
で、(1,1)

>>149
自明では駄目です
背理法で示してください。

>>150
直線が最短だから距離というのよ

やっとルーレットのやつ片付いたかも。

有限個を除いて0である非負整数の列sに対し
w(s)=#{i | w(i)≠0}
A(s)={t| ∃j tj=sj-11≧0, ti=si (∀i≠j)}
で定めてP(s)を
P(s)=1 (if w(s)=2, si≦1}
. =0 (if (w(s)=1)
. =1/(w(s)Σ[t∈A(s)]P(s)
で定める。
この時
P(s)=1 iff si≦1, w(s)≧2
. =(w(s)-1)/w(s) iff ( ∃j sj=2, si≦1 (∀i≠j)) or (w(s)=2, si=2,0 (∀i))
. < (w(s)-1)/w(s)
が成立する。
とくに
p(n,n,‥,n)≦(w(p)-1)/w(p) if w≧3 or n≧3。

証明は帰納法で簡単。

>>150
三角不等式は絶対値の基本的性質で自明でいいだろう

>>152
6人を2部屋の場合の確率が5/8
6人を3部屋の場合の確率が7/18
8人を2部屋の場合の確率は11/16
8人を4部屋の場合の確率は97/288
9人を3部屋の場合の確率は85/216
になる？

>>154
6人3部屋は手計算で確認した。

>>152
別々の部屋になる確率を計算している？
なら
6人を2部屋の場合の確率が3/8
6人を3部屋の場合の確率が11/18
8人を2部屋の場合の確率は5/16
8人を4部屋の場合の確率は191/288
9人を3部屋の場合の確率は131/216
になる？

>>154
９人３部屋だと０．５を超えない？他はパソコン計算での少数表示と合致したけど。

> # AB最後の２人の順位,rmax:部屋数,rcap:各部屋定員
> Same_Room(AB=c(5,6),rmax=2,rcap=3) ; 5/8
[1] 0.625
[1] 0.625
> Same_Room(AB=c(5,6),rmax=3,rcap=2) ; 7/18
[1] 0.3888888889
[1] 0.3888888889
> Same_Room(AB=c(7,8),rmax=2,rcap=4) ; 11/16
[1] 0.6875
[1] 0.6875
> Same_Room(AB=c(7,8),rmax=4,rcap=2) ; 97/288
[1] 0.3368055556
[1] 0.3368055556
> Same_Room(AB=c(8,9),rmax=3,rcap=3) ; 85/216
[1] 0.5169753086
[1] 0.3935185185

>>139
ちょっと問題を直線から円に変えてみた。

平面上に2点A(2，3)，B(5，3)と円x^2+y^2=2^2がある。この直線上に点Pをとるとき，
AP+BPを最小にするような点Pの座標を求めよ。

>>158
思考停止のパソコン解

f <- function(theta,A=2+3i,B=5+3i){
P=2*cos(theta)+2i*sin(theta)
abs(A-P)+abs(B-P)
}
opt=optimise(f,c(-pi,pi))
theta=opt$minimum
c(2*cos(theta),2*sin(theta))

> c(2*cos(theta),2*sin(theta))
[1] 1.3892 1.4388

9人3部屋は335/648になった。

import Data.Ratio
import Data.List

w s = fromIntegral $ length [e| e<-s, e/= 0]
rotations x = tail$ zipWith (++) ( tails x) (inits x)

p s = case [e | e<-s, e /= 0] of
[1,1] -> 1%1
[_] -> 0
x -> (/(w s)) $ sum [p $ ((head t)-1):((tail t)) | t <- (rotations x)]

printP s = print (s, p s,fromRational $ p s)

main = do
printP [3,3]
printP [2,2,2]
printP [4,4]
printP [2,2,2,2]
printP [3,3,3]

結果

([3,3],3 % 8,0.375)
([2,2,2],11 % 18,0.6111111111111112)
([4,4],5 % 16,0.3125)
([2,2,2,2],191 % 288,0.6631944444444444)
([3,3,3],313 % 648,0.48302469135802467)

前>>86
>>139高校スレに書いたけど、図を描いてP(1,1)がちょうどA,B双方から同じ角度だな、と思ったらそこで決まりというのが1つの解答。
教科書的な解答は、
y=-x+2という川からの距離を比べると、A(2,3)は(1/2,3/2)がもっとも近く、B(5,3)は(0,2)がもっとも近い。
川までの距離はAが3√2/2,Bが3√2すなわち1:2でAが近い。
つまり(1/2,3/2)と(2,0)を1:2に分ける地点にPをとればAP+BPは最短になる。
∴P(1,1)

>>127
>3≦i≦5, 6≦j≦7
3≦i≦6だった
(i, j)=(6,7) 5C2*3C2(1/3)^6(1/2)
3!523/3333332=25/3333=10/81追加で
85/216+10/81=335/648
>>157,159
サンクス

10人を2部屋
2!{(1/2)^5+5(1/2)^6+35(1/2)^7+75(1/2)^8}=83/128
10人を5部屋
1部屋目満室i1人目・・・4部屋目満室i1+i2+i3+i4人目
(2,2,2,2) 1C1*1C1*1C1*1C1/55443322
(2,2,3,1) 1C1*1C1*2C1*1C1/55443332
(2,3.1,2) 1C1*2C1*1C1*1C1/55444322
(2,3.2,1) 1C1*2C1*2C1*1C1/55444332
(2,4,1,1) 1C1*3C1*2C1*1C1/55444432
(3,1,2,2) 2C1*1C1*1C1*1C1/55543322
(3,1.3,1) 2C1*1C1*2C1*1C1/55543332
(3,2,1,2) 2C1*2C1*1C1*1C1/55544322
(3,2,2,1) 2C1*2C1*2C1*1C1/55544332
(3,3,1,1) 2C1*3C1*2C1*1C1/55544432
(4,1,1,2) 3C1*2C1*1C1*1C1/55554322
(4,1,2,1) 3C1*2C1*2C1*1C1/55554332
(4,2,1,1) 3C1*3C1*2C1*1C1/55554432
(5,1,1,1) 4C1*3C1*2C1*1C1/55555432
5!(555443+2555442+2555433+22555432+32555332+2554443+22554442+22554433+222554432+232554332+32544433+322544432+332544332+432444332)/55555444433322
=(55543+255542+255533+2255532+355533+255443+2255442+2255433+22255432+23255332+3254433+32254432+332544332+43244332)/555544332
=(1500+2000+2250+3000+3375+2400+3200+3600+4800+5400+4320+5760+8640+6912)/180000=57157/180000
>1/5

>>161
>([3,3,3],313 % 648,0.48302469135802467)
ここ違うんでない？

それ同室にならない確率。
同室なら335/648で既出の数値と合ってる。

>>160
サンクス

>>166
サンクス

同室バージョン

import Data.Ratio
import Data.List

rotations x = tail $ zipWith (++) (tails x) (inits x)
w s = fromIntegral $ length s
a s = [ filter (/=0) $ ((head t)-1):(tail t) | t <- rotations s]
p s = case s of
[1,1] -> 0%1
[_] -> 1%1
x -> (/(w s)) $ sum $ map p $ a s

printP s = print (s, p s,fromRational $ p s)
main = do
printP [3,3]
printP [2,2,2]
printP [4,4]
printP [2,2,2,2]
printP [3,3,3]
printP [5,5]
printP [2,2,2,2,2]

実行結果

([3,3],5 % 8,0.625)
([2,2,2],7 % 18,0.3888888888888889)
([4,4],11 % 16,0.6875)
([2,2,2,2],97 % 288,0.3368055555555556)
([3,3,3],335 % 648,0.5169753086419753)
([5,5],93 % 128,0.7265625)
([2,2,2,2,2],54997 % 180000,0.3055388888888889)

>>152,161
解説希望

>>164
>=83/128
=93/128

>>152
の漸化式は問題文の文章そのまま立式してるだけ。
p s はsの部屋割りのとき最後の2人がバラける確率。
p [1,1] = 1 は定員1人の部屋2部屋なら必ずバラける。
p [m] =0 は定員m人の部屋一部屋なら必ず同室。
それ以外なら1人目をどの部屋に入れる確率も等しいのが仮定だから最後の2人が同室になる確率は
p(s)Σp(t)/部屋の数、ただしtはいずれか一部屋の定員を1だけ減らした部屋の組みを渡る。
この漸化式を満たすとき、示したのは
p [1,1,‥,1] = 1 (全ての部屋の定員が1なら必ずバラける)
p [2,1,‥,1] = 1/(部屋数) (漸化式から容易)
p [2,2] = 1/2 (漸化式から容易)
それ以外の場合は
p(s) <1-1/(部屋数)
最後のは帰納法。
いずれかの部屋に1人入れて(1,‥,1)になるのは{1,‥,1)か(2,1,‥,1)しかないのでこの場合は既に示せている。
いずれかの部屋に1人入れて[2,2]になるのは[3,2]か[2,2,1]。
これらの場合は
p [3,2]= 3/8 < 1-1/2
p [2,2,1] = 11/18 < 1 - 1/3
により成立。
いずれの部屋に1人入れても上記例外ケースが現れないなら帰納法の仮定により同室にならない確率は1-1/部屋数より小さい。
説明はザックリだけどルーチンワークで難しい議論は必要ない。

>>162
＞図を描いてP(1,1)がちょうどA,B双方から同じ角度だな、と思ったらそこで決まり

決まりじゃないでしょ。そんなに自明ではない。

直線に対してどちらか一点の鏡像を考えれば、他方の点から直線上の１点
を経由して鏡像に達する経路の長さが最小になるのは、３点が同じ直線に
乗る場合。これは、3点を頂点とする三角形を考えれば明らか、
で、そこから、入射角と反射角は等しいという光の反射の法則も、光は
最短経路を通るというフェルマーの原理によって導かれる。

前>>162
A(2,3)とB(5,3)がいい感じに並んでるから、
図を描いてP(1,1)が一瞬で決まると思う。
→AP=(-1,-2)と、
→BP=(-4,-2)は、
こうやって並べて書くと、図を描いても描かなくてもy=xに対して同じ角度で入射することが実感できる。

実感できるけど、y=-x+2との距離を測れば数字で示せていい。わかってますよ、と主張するためにも川までの距離を書いたほうがいい。

>>172
>それ以外なら1人目をどの部屋に入れる確率も等しいのが仮定だから最後の2人が同室になる確率は
>p(s)Σp(t)/部屋の数、ただしtはいずれか一部屋の定員を1だけ減らした部屋の組みを渡る。
p(s)=Σp(t)/部屋の数
ですねどうもありがとう

予備校の授業で出た問題です
（1）は東工大の問題でした、ネット上で解答を見つけて納得しました
（2）はオリジナルだと思いますが円と違ってうまく行きません。こちらを解答願えないでしょうか。よろしくお願いします。

（1）楕円x^2/8+y^2/17=25上の2接線が直交するとき、その交点の描く軌跡を求めよ。

（2）双曲線x^2/8-y^2/17=25上の2接線が直交するとき、その交点の描く軌跡を求めよ。

>>176
双曲線の準円。
↓の数値かえれば桶
https://examist.jp/mathematics/quadratic-curve/soukyokusen-jyunen/

既約分数表示できるようにRのプログラムを改造しているうちに呪文のようなHaskellの神コード投稿の出現に驚愕。
９人３部屋の同室確率の計算（他の投稿とも数字が一致しているから良しとしよう）
> # rmax 部屋の数
> # rcap 各部屋の定員
> p9=combn(9,2,function(x) Same_Room(x,rmax=3,rcap=3))

1 & 2 : 1 / 3 = 0.3333333333
1 & 3 : 1 / 3 = 0.3333333333
1 & 4 : 8 / 27 = 0.2962962963
1 & 5 : 7 / 27 = 0.2592592593
1 & 6 : 19 / 81 = 0.2345679012
1 & 7 : 193 / 972 = 0.1985596708
1 & 8 : 335 / 1944 = 0.1723251029
1 & 9 : 335 / 1944 = 0.1723251029
2 & 3 : 1 / 3 = 0.3333333333
2 & 4 : 8 / 27 = 0.2962962963
2 & 5 : 7 / 27 = 0.2592592593
2 & 6 : 19 / 81 = 0.2345679012
2 & 7 : 193 / 972 = 0.1985596708
2 & 8 : 335 / 1944 = 0.1723251029
2 & 9 : 335 / 1944 = 0.1723251029
3 & 4 : 8 / 27 = 0.2962962963
3 & 5 : 7 / 27 = 0.2592592593
3 & 6 : 19 / 81 = 0.2345679012
3 & 7 : 193 / 972 = 0.1985596708
3 & 8 : 335 / 1944 = 0.1723251029
3 & 9 : 335 / 1944 = 0.1723251029
4 & 5 : 5 / 18 = 0.2777777778
4 & 6 : 41 / 162 = 0.2530864198
4 & 7 : 413 / 1944 = 0.2124485597
4 & 8 : 715 / 3888 = 0.183899177
4 & 9 : 715 / 3888 = 0.183899177
5 & 6 : 47 / 162 = 0.2901234568
5 & 7 : 467 / 1944 = 0.2402263374
5 & 8 : 805 / 3888 = 0.2070473251
5 & 9 : 805 / 3888 = 0.2070473251
6 & 7 : 539 / 1944 = 0.2772633745
6 & 8 : 925 / 3888 = 0.2379115226
6 & 9 : 925 / 3888 = 0.2379115226
7 & 8 : 437 / 1296 = 0.337191358
7 & 9 : 437 / 1296 = 0.337191358
8 & 9 : 335 / 648 = 0.5169753086

前>>174
>>176双曲線y={(17/8)x^2-425}^(1/2)を微分すると、
y'=(1/2)(17x^2/8-425)^(-1/2)･(17x/4)
=17x/8√(17x^2/8-425)
図を描くと、
x≦-10√2と10√2≦xに、2つの双曲線が描け、差しがねを当ててずらしていくと、差しがねの角は原点を中心とした円を2つの双曲線のあいだに描く。
半径がわかれば円の方程式は決まるから、適当に直交する接線を引いてその交点と原点の距離を出せばいいはず。

前>>179
>>176(2)双曲線y=√(17x^/8-425)の接線の方程式をy=x-rとy=-x-rとしてy軸上の点(0,-r)で直交するとすると、
y=x-rとy=√(17x^2/8-425)からyを消去し辺々二乗し、
x^2-2rx+r^2=17x^2/8-425=0
9x^2/8+2rx-r^2-425=0
判別式D/4=r^2+(9/8)(r^2+425=17r^2/8+3825/8≠0
――不適。
二乗するときの符号を逆にすると、
x^2-2rx+r^2+17x^2/8-425=0
D/4=r^2-25(r^2-425)/8=0
17r^2/8=25･425/8
r^2=25･425/17=25･35=875
r=5√35
2つの接線の交点の軌跡は、
x^2+y^2=875

前>>180ちがうなぁ。
10√2より小さいrがあるはずだから。

前>>181
>>176(できたできた！)
x^2/8-y^2/17=25を変形すると、
17x^2-8y^2=3400
8y^2=17x^2-3400
y^2=17x^2/8-425
y=√(17x^2/8-425)
y=x-rがy=√(17x^2/8-425)と第�T象限で接するから、
(2r,r)がy=√(17x^2/8-425)上にある。
r=√(17･4r^2/8-425)
r^2=17r^2/2-425
15r^2/2=425
r^2=850/15=170/3
7＜r=√(170/3)＜8(妥当な範囲にある)
∴求める軌跡は、
x^2+y^2=170/3

I_n = ∫[0,1] (x^2n)/1+x^2 dx
とする。
またI_1=aとおく。

I_nについての漸化式を作ることによりI_nをnとaの式で表せ。

nを5の倍数でない偶数とする。
n,n^2,n^3,...,n^k,...
の1の位の数字をそれぞれn[i]（i=1,2,...）と表す。
mが十分大きいとき、n[1],...,n[m]の中に2,4,6,8のいずれも現れることを示せ。

反例
6, 36, 216, 1296, 7776, ...

地球と太陽の重心はほぼ太陽の位置に等しいらしいのですが、何故ですか？
太陽の質量が地球の質量に比べてとても大きいからでしょうか？

>>186
そうだよ。
太陽質量は地球の３３万倍だから、重心は太陽地球間を33万:1に内分する位置。
太陽地球間は1億５千万kmだから、太陽中心から450kmくらいのところになる。
太陽の半径70万kmの千分の一にも満たない。

>>184
ツマンネ

nを自然数の定数とする。
xの方程式
x^2-(2n+a)x-{2n/(n+1)}=0
が整数解を持つとき、実数aの取りうる値を述べよ。

>>183

I_0 = ∫[0,1] 1/(1+xx) dx
　= [ arctan(x) ](x=0,1)
　= π/4
　= 0.7854･･･

I_n + I_{n+1} = ∫[0,1] x^(2n) dx
　= [ 1/(2n+1) x^(2n+1) ](x=0,1)
　= 1/(2n+1),

双曲線のときは交点の全体のなす軌跡は準円全体の一部分のはず。

楕円の準円なんてあるのか知らんかった。
ググったら無限大の楕円に近づけると放物線の準線に一致するらしい。

おもしれーじゃん

三角形ABCの内部の点P、直線APとBCの交点をD、直線CPとABの交点をFとする。
４点BFPDが同一円周上にあるという条件を満たしながら点Pが動くときどのような曲線を描くか？

n次正方行列A,Bに対して、AB=IならAB=BA=I？

>>196
行列環では
右可逆→両側可逆→右逆元＝左逆元

3n人を、三つの部屋へn人ずつ振り分ける問題で最後の二人が同部屋になる確率ですが、次の式で場合数が求められます。
216^n-12 Sum[C[n-1+i+j,n-1]C[i+j,i]C[2n-2-i-j,n-1-i] 18^n (2/3)^(i+j),{i,0,n-1},{j,0,n-1}]
{n,上の値,確率(20桁で近似表示)}　(確率は6^3nで割る)

{{1, 0, 0}, {2, 18144, 0.38888888888888888889}, {3, 5209920, 0.51697530864197530864}, {4, 1277358336, 0.58681031854900167657},
{5, 297406930176, 0.63253174799742586665}, {6, 67589314735104, 0.66551145699851912065}, {7, 15153630372661248, 0.69078107623440557760},
{8, 3368802401881104384, 0.71096059209839126823}, {9, 744659248966899388416, 0.72756839875113198117},
{10, 163938283321351774519296, 0.74155415314679864909}, {11, 35983339833191982439956480, 0.75354676153215254988},
{12, 7880031805665022883287400448, 0.76398170131777257272}, {13, 1722560951214725128467380305920, 0.77317149277716051550},
{14, 376007509734863346448921970343936, 0.78134709670837789933}, {15, 81980202854724066591387792127819776, 0.78868343876259628398}}

>>117 の結果(私の投稿です)とn=8までは完全に一致しますが、n=9,10では微妙にずれています。
cの倍精度の有効数字は15桁位なので、n=8で19桁全てが一致している方が驚きですが、
扱っている数字が 2^10 の倍数ばかりのようなケースでは、起こりえることと考えられます。

零行列でない3次正方行列Aと、3次のベクトルvが与えられている。
いまAv=pとし、3次のベクトルxを用いて内積x・pを所望の値rにしたい。
このときxをrと、A,vの成分を用いて表わせ。

>>197
ユニタリ行列は
†g g = E を満たすg全体のこと
と習ったのですが、講義の中で当然のように†g g = g †g = Eが使われていたので疑問に思いました
学部1年の初学者の質問ですがよろしくお願いします…変なこと言ってたらすみません

>>196
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/400904.html

定理[4.1]
「n次正方行列Aに対し、XA=I となるn次行列Xが存在すれば Aは正則である。
　AX=I となるXの存在を仮定しても同様である。」
ここでAが正則とは、XA=XA=I となるn次行列Xが存在することである。
このようなXをAの逆行列と言う。(p.41)
・齋藤正彦：「線型代数入門」東京大学出版会 (1966)　p.48-49

証明は行列の基本変形を利用しています。
(Nandayer氏の回答)

BX=I なるXつまりBの右逆元が存在すれば
　BA = (BA)I = (BA)(BX) = B(AB)X = BIX = BX = I,
(b_black氏の回答)

なるほど、Aが正則であればAB=I⇒BA=Iが真であることは言えるが、「Aの逆行列の定義はAB=IなるB、というだけで十分」は偽ですかね
Aの正則性を仮定すればAB=IとしてA=IA=A(BA)で、Aは正則だからBA=Iとできるということでしょうか

だいたい理解出来ました、ありがとうございます
ユニタリ行列の定義を厳密に理解していなかったのが問題でした
｛g∈GL(R)┃†gg=I｝のGL(R)の部分が重要だったんですね、gが正方行列全体を動くものと思ってました

>>201　訂正

ここでAが正則とは、XA=AX=I となるn次行列Xが存在することである。

>>202
AB=I⇒BA=Iが真であることが言えれば、
Aに対してAB=IとなるBは（それが存在すれば）一意であることが言える。(*)
よって「Aの逆行列の定義はAB=IなるB」というだけで十分。

(*) AB=AC=Iを仮定する。このとき、BA=Iであるから、C=(BA)C=B(AC)=B(AB)=B。

>>205
逆元の一意性はこれで保証されるわけですね、なるほど

ん？Aが正則である、の定義はAB=IなるBが存在すること、だけで十分なんですか？左右から確かめないといけないと習ったのですが

>>203
正方行列Aについて
1. ランクやら行列式やらの同値条件で考えれば明らかにAが正則⇔AB=IなるBが存在
2. AB=Iとすると1.によりAは正則だからXA=AX=IなるXが存在する
3. 特にAB=AXだから、>>205の(*)よりB=X
4. したがってAB=I⇒BA=I
5. 同様にしてBA=I⇒AB=Iも示される

完全に理解しました…。
det(AB)=detIとすればAの正則性が分かるのでAB=IなるBが存在、しかもそのようなBは一意的
あとは式変形でBA=Iが言えて逆も同様
正方行列Aの正則性の定義にはAB=IなるBの存在だけで十分、というわけですか
ばかな質問失礼しました、ありがとうございます…。

>>189
どなたかこの問題をお願いします。

>>201
>BX=I なるXつまりBの右逆元が存在すれば
>　BA = (BA)I = (BA)(BX) = B(AB)X = BIX = BX = I,
?

なぜ指数に合わせるのか分かりませぬ

662751611445166080

(？)
662751659365089280
662751751270580224
662751791066226688
規則性がある数列で？の中の数字を求める問題なのですが分かりません教えて頂ける方いませんか

>>195
Ａから下ろした垂線の足をh1、Ｃから下ろした垂線の足をh2とし、垂心をｈとする。

まず、ｈは明らかにＰの条件を満たす。
なぜなら∠Ｆ＝∠Ｄ＝直角だから、Ｆ、ＤはＢＰを直径とする円周上にある。

次に、４点が同一円周上にあるためには、∠Ｆと∠Ｄが補角になっていればよい。
そのためには△ＡＤh1と△ＣＦh2が相似であればよい。
ゆえに、そのようにＤとＦを取り、交点Ｐを作図していく。
そして△ＡＢh1と△ＣＥh2が相似になるような点Ｅまで、その作業を続ける。

同様に△ＡＣh1と△ＣＧh2が相似になるように点Ｇを取り、
上と同様の作業を続ける。

そうするとＰの軌跡はＥ、ｈ、Ｃを通る曲線（おそらく円弧）になる。
ちなみに△ＡＢＣと△ＣＥＧは相似である。

>>213
4x^2=(?)^2

>>215の続き
Ｅ、ｈ、Ｃを通る曲線が円弧になる理由が分った。

４点が同一円周上にあるということは、
∠Ｐが∠Ｂと補角の関係を保ったまま動くということである。
ところでＰが△ＡＢＣの外接円の円弧上をＡからＣまで動くなら、
円周角の定理により、∠Ｐは∠Ｂと補角の関係を保ったまま動く。
そしてＰが、円弧ＡＣと（弦ＡＣと）線対称な円弧上を動いても、
∠Ｐは∠Ｂと補角の関係を保つ。
なぜなら、その線対称な円弧は、△ＡＢＣの外接円と同じ半径の円の円弧だから、
その円弧上の∠Ｐの補角は、∠Ｂと等しいからである。
ゆえに∠Ｂと補角の関係を保ったまま動くＰは、
△ＡＢＣの外接円と同じ半径の円の円弧上を動いているのだから、
Ｐの軌跡は円弧になる。

その円弧の円は△ＡＢＣの外接円と同じ半径の円であり、
その中心は、ＡＣの垂直二等分線とＥＣの垂直二等分線の交点にある。
ちなみに△ＣＥＢはＣを頂点とする二等辺三角形である。
つまりＥの作図は簡単。

5次方程式
x^5-5x^4+10x^3+9x^2+kx+1=0
が非負整数p,qを用いてp+qi,p-qiの形で表される2解を持つという（2解は重複してよい）。
整数kの取りうる値を求めよ。

円弧にはならん

（1）2020年のある日から3ヶ月間の日数が以下のようになることはあるか。
ただしある日（A月B日）から3ヶ月間とは、(A+3)月(B-1)日までの期間を指す。B=1の場合は、代わりに(A+2)月の最終日を期間の最後とする。

(i)88日
(ii)89日
(iii)90日

（2）2020年のある日から20ヶ月間の日数としてあり得る値をすべて求めよ。

つくづく思うのはやっぱり受験数学ってやらなきゃ大学行けないって避けられない事情があるから成立するもんなんだなと。
こういうところでは問題自体に解いてみたいと思える魅力がないと全然解いてみる気がしない。

正の整数からなる空でない有限集合Sで以下の条件を満たすものをすべて求めよ。
(条件) 任意のSの異なる2元i, j に対して, (i+j)/gcd(i, j) もまたSの元となる。

前>>182
>>195
∠ABCの二等分線が怪しい。

>>222
そのようなSがあったとしたら、互いに素な2数はSに属さない。
（互いに素な異なる正整数n,mに対してn+kmはmと互いに素だからn,m∈Sなら｛n+km┃k∈N｝⊂Sが帰納的に言えるのでSが有限集合であることに矛盾）

>>222
次に異なる正整数n,m∈Sで、n,mは互いに素でないとする。S∋s_1=(n+m)/gcd(n,m)＜max｛n,m｝は、gcd(n,m)≧2で、かつn≠mであることから明らか。同様にしてs_1とmin｛n,m｝からmax｛s_1, min｛n,m｝｝より小さいSの元s_2を生成できる。
これを繰り返せばいくらでも小さいSの元を生成できるから、最終的には1すなわち任意の正整数と互いに素な数が生まれてしまう。
（この操作で生成できる数には1より大きな下限(例えばmin｛n,m｝)があるように思えるが、実際には(下限)=(生成した数)となった時ただちに1が生成される）
したがって、そのようなSは存在しない。

>>222
もちろん、異なる2元を取ることができない｛1｝とか｛2｝はその性質を満たすと言えるが問題の本質ではないと思う。

>>225
>(n+m)/gcd(n,m)＜max｛n,m｝
ここが明らかでないかと

>>227はミス

>>225
s_1=min{n,m}の場合いくらでも小さいSの元は取れない

それ明らか。

おっと>>230は>>227宛

>>230
ごめんごめん>>228は自分のミスって意味で書いたんだけど>>225のミスを指摘したみたいになってしまった

>>195 BC=a, AC=b , AB=c
AF/BF=x , BD/DC=y
BFPDが同一円周上 ⇔ AP*AD=AF*AB
計算すると
y=((a^2-b^2+c^2)x+(a^2-b^2))/((b^2-c^2)x+b^2)
ここからPの軌道を計算する方法がわからん。。

前>>223レスアンカーおかしい？
>>195問題。
>>233の(設定)で、
メネラウスの定理より、
(BC/CD)(DP/PA)(AF/FB)=1より、aDP=yPAx
AP/PD=a/xy
(BA/AF)(FP/PC)(CD/DB)=1より、cFPy=PC
FP/PC=1/cy
AP/PD=(FP/PC)(b+c)(a+b)/a
a/xy=(1/cy)(b+c)(a+b)/a
x=ca^2/(b+c)(a+b)
(AF/FB)(BC/CD)(DP/PA)=1より、
(1/x){(1+y)/y}(DP/PA)=1
(1/x){(1+y)/y}=a/(FP/PC)(b+c)(a+b)
(1/x)(1+y)=acy^2/(b+c)(a+b)
(1/x)(1+y)=acy^2/(b+c)(a+b)
(1+y)/xy^2=ac/(b+c)(a+b)
大文字を消してx,yとa,b,cに分けると、
(1+y)/xy^2(1+x)=(b+c)(a+b)/a
1+x=cだから同じ式。
1+y=aを代入し、
a/(c-1)(a-1)^2c=(b+c)(a+b)/a
a^2/(c-1)(a-1)^2c=(b+c)(a+b)
a^2=(b+c)c(c-1)(a+b)(a-1)^2

>>234
x,yの定義が>>233と一致してないんじゃ？

>>195
ACと垂心Hのうち、三角形の内部にある点全体。

>>195
垂心をHとして三角形ACHの外接球のうち三角形ABCの内部。

>>195
円に内接する四角形の対角は等しいから
1)∠FBD+∠DPF=180°
対頂角は等しいので
2)∠DPF=∠APC
また
3)∠FBD=∠ABC
1,2,3より∠APC=180°-∠ABC=一定
円周角の定理の逆より,A,P,Cは同一円周上にある.
この円は垂心Hを通る(AD⊥BC, CF⊥ABの時を考えよ).
よってPの軌跡はA,H,Cを通る円弧AHC.

>>238
×円に内接する四角形の対角は等しいから
○円に内接する四角形の対角の和は180°に等しいから

×垂心H
○三角形ABCの垂心H

x=x(t)、x(0)=x(1)=0に対して定義された対称作用素Lx:=(d^2x)/(dt^2)の固有値、グリーン関数を求めよ
調べてもよくわからなかったので解法も書いて頂けると助かります

>>238
なるほど。答え見ると中学生レベルの問題だった。。

>>240
ググってわかった範囲内での答え。
自信なし
固有関数はsin(πmx) (m:整数)
グリーン関数はH(x-t)(x-t)
ここにH(x-t)はヘビサイドの階段関数。
自信なし。
どうやって導出したかはわかんね。
代入してみれば成立はしてるみたい。

>>222
解の存在は示せるけど求めた解で尽くされてることが証明できない

2元集合の解{a,b} (a<b)があるとしてd=(a,b)とおけばd≠1は既出。
∴(a+b)/d<b。∴(a+b)/d=a。∴a|b。∴d=a。
∴b=a^2-a。
さらにb≠aによりa>2。
逆にこの形の集合は条件をみたす。
3元以上の解があるとして小さい順にa<b<cをとる。
先と同様にしてb=a^2-a。
やはり同様にして(a+c)=(a,c)a or (a,c)bによりa|c。
∴c=a^3-a^2-a。
容易に(b,c)=aであるから(b+c)/(b,c)=a^2-2。
さらに先程同様にa>2であるが、このとき容易にa^3-a^2-a>a>a^2-a。
これはcが3番目に小さい事に反する。
よって3元以上持つ解はない。

>>218
どなたかこの問題をお願いします。

>>244
なるほど納得
ありがとう

>>218
x^5-5x^4+10x^3+9x^2+kx+1=0
(x-1)^5+19x^2+(k-5)x+2=0
x-1=tとおくと
t^5+19t^2+(k+33)t-k+26=0
これ以降が分かりません

>>244
Sの元の小さい方から3つ取ってa<b<cとしたときに
a<b<a^2-2<c (a>2)
となっちゃって矛盾ってのがミソなのね

>>195
△ABCの頂点Bを辺ACについて折り返した点をB'とする。
△AB'Cの外接円の△ABCの内部にある円弧が求める曲線

双曲線は適当な回転によって一次分数関数にできるのに、2次曲線なんですか？

周長がKである凸四角形ABCDの各辺上にそれぞれ点P,Q,R,Sをとり、四角形PQRSの周長をLとおく。

P,Q,R,Sを動かすとき、Lの最大値はK/2以上であることを示せ。

明らかにL=Kのときがあるのになんじゃコレ？

センター模試です

3次曲線C:y=x^3-3x^2-xと直線y=xの交点で、点O(0,0)以外のものをすべて求めると（　ア　）である。
このうちx座標が正のものを点Aとし、直線OAとCとで囲まれる領域をDとすると、Dの面積は（　イ　）である。

また直線OAを、点Aのまわりに時計回りに30°回転させた直線Lの式は（　ウ　）である。
LとCとで囲まれる領域Eの面積は（　エ　）であり、Eを直線OAのまわりに一回転させてできる立体の体積は（　オ　）である。

>>250
xy=1　は二次式やん

センターで回転体の体積は範囲外

>>242
ありがとうございます
もうちょい考えてみます……

>>254
マジか

O(0,0),A(1,√3),B(2,0)の△OABにおいて、辺OA上の点P(p,√3p)からOBに垂線を下ろし、その交点をHとする。
ただしPはOともAとも異なる点とする。

□PHBAを対角線AHのまわりに一回転させてできる立体の体積V_Pをpで表わせ。

円周率が仮に有理数だと円の形って変わるんですか？

仮定が偽なので命題は真になります

方程式
e^x=x^(ae)
の実数解の個数を求めよ。
ただしaは実定数、eは自然対数の底である。

どのような自然数m,n(1<m<n-1)に対しても、次の等式が成立しないことを証明せよ。
Σ[k=1,m] 1/k = Σ[k=m+1,n] 1/k

>>222
要素数2の場合は解があり、n≧3のとき有限集合{n, n(n-1)}は与条件を満たす。
要素数2の場合の解はこの形しかない。

∵集合S={A,B}が与条件を満たすとする。
n=gcd(A,B)とすると、A=a*n,B=b*nとなる正整数a,bがあり、かつgcd(a,b)=1である。
与条件より(A+B)/n=a+b∈{A,B}である。
a+b=Aの場合、b=a(n-1)より、bはaの倍数である。gcd(a,b)=1なので、a=1である。
よってA=n,B=n(n-1)である。
a+b=Bの場合、同様にA=n(n-1),B=nが言える。

円（正多角形）に近い方が周の長さは小さい。
だから例えば正方形に内接する正方形で、最も周長が小さいのは、
その正方形の各辺の中点で内接する正方形である。
なぜなら、その正方形に内接する図形で周長が最少なのは円であり、
円はその正方形の各辺の中点で内接するから。

だから、もし一次変換によっても周長の比は不変だとすれば、
ABCDに内接するPQRSで、その周長が最少なのは、
ABCDの各辺の中点で内接するPQRSである。
そしてABCDの対角線をａ、ｂとすると、
そのPQRSのLはL=a+bであり、これが最小のLである。

ところでKはa+bより大きいが2(a+b)より小さい。
ゆえにK<2(a+b)　ゆえにK/2<a+b(=最小のL)
最小のLでさえK/2より大きいのだから、Lの最大値はK/2より大きい。

>>251は明らかな出題ミスがあるのになに言ってんだか。

>>261
y=x/log(x)とy=aeの交点の数をみればいい。

前>>234
>>258
BからAHへの垂線をBQ、
AからBHへの垂線をARとすると、
△APR∽△BPQより、
PR:AR=PQ:BQ
(1-p):√3=q:r
=q:√{(2-p)^2-q^2}
3q^2=(1-p)^2{(2-p)^2-q^2}
3q^2+q^2(1-p)^2=(1-p)^2(2-p)^2
(p^2-2p+4)q^2=(1-p)^2(2-p)^2
q^2=(1-p)^2(2-p)^2/(p^2-2p+4)
V_P=(1/3)πr^2･h
=(π/3){(2-p)^2-q^2}√{(1-p)^2+(√3)^2}
=(π/3){3q^2/(1-p)^2}√(p^2-2p+4)
=πq^2√(p^2-2p+4)/(1-p)^2
=π(2-p)^2/√(p^2-2p+4)

>>261
e^x=x^(ae)を
e^x/x^(ae)=1
x-aeln(x)=0
と変形してからやると楽
f(x)=x-aeln(x)
とおいてf(x)の増減を調べてやれば
a<0,a=0の時f(x)=0の実数解は1個
0<a<1の時は0個
a=1の時は1個
a>1の時は2個

>>264は単なる思い付きで書いたものだから、合っているかどうかは不明。

三角形に内接する楕円で面積最大なのはどれか、という問題で
始めて一次変換という語を知り、非常に感心した。
そこで>>251の問題に応用できないかと考えたのである。

一次変換によっても周長の比は不変かどうかは知らないし、
（たぶん不変ではないだろう）
中点で内接するPQRSが周長最小となるのかどうかも不明。

間違っていれば誰かが訂正してくれるだろうと思って書いたものである。

一次変換は辺の比を変えないが
長さを変えない等長変換は回転、鏡映など特別なもの

>>268
x/elog(x)=a

左辺のグラフを書くと



a<0,a=0の時f(x)=0の実数解は1個
0<a<1の時は0個
a=1の時は1個
a>1の時は2個

誰かに悪口を書かれる前に書いておくと、>>264は明らかに間違いだと分った。
なぜなら、ABCDの短い方の対角線をａとすると、
Lはかぎりなく2aに近い値を取りうるから。
ゆえにLの取りうる値は2a＜L≦Kだから、>>251の問題は出題ミス。

それにしても三角形に内接する楕円で面積最大のものを
一次変換を利用して解くという方法には本当に感心した。
それによると、その楕円は三角形の三辺の中点で接していることも分る。

�Fなのですが、この正三角形の高さは2√3cmだと解説に書いてあります。

しかし、2√3は3枚目の画像だと赤ではなく青いところの高さではないのでしょうか？

面が正三角形なんじゃなくて"立面"に映った影が正三角形なんでね？

>>274


ピンクではなく、青が正三角形みたいなイメージですか？

多分

>>261

ae=m (偶数≠0) のときは負の解もあるんぢゃね？

x = -m･W(1/m) < 0

3x^2 + 2xy - y^2 - x +3y - 2
= 3x^2 + (2y - 1)x - y^2 + 3y - 2

この
- y^2 + 3y - 2
が
- (y^2 - 3y + 2)
になるのがわかりましぇん

足して+3 掛けて-2
になる数字がないので符号を変えるという意味がわかりましぇん

画像の二本あるうちの上のマーカーは間違いです

>>278
-1でくくったからカッコ内では符号が変わっただけだぞ

>>280
-y^2が
-(y^2

のようにマイナスが左にシフトしたのでややこしかったです！なるほど。

この問題がわかりません


問1はこれであってますか？

>>282
z=z(x,y), x=x(t), y=y(t)の微分は dz/dt=(∂z/∂x)(dx/dt)+(∂z/∂y)(dy/dt) となる公式(連鎖律)を使います。

A1-(1)の場合、
dx/dt = -3cos^2t sint,
dy/dt = 3sin^2t cost
をこの連鎖律に代入して
dz/dt = -3cos^2t sint (∂z/∂x) + 3sin^2t cost (∂z/∂y)
が答えです。したがって、>>282 の解答は合っていません。

A2は以下の連鎖律
z=z(x,y), x=x(u,v), y=y(u,v)の微分は
∂z/∂u=(∂z/∂x)(∂x/∂u)+(∂z/∂y)(∂y/∂u),
∂z/∂v=(∂z/∂x)(∂x/∂v)+(∂z/∂y)(∂y/∂v)
を使います。

この問題は単に
1.偏微分の意味を知ってるかどうか?
2.連鎖律が使えるかどうか?
を問う問題なので、”偏微分”と”連鎖律”をキーワードで検索するなりして学んでください。

これ極座標で解こうとして解けなくなってしまいました……
助けてください


c=cosθとします

求積したい立体のうち、xy座標の第一象限中にあり、
x軸を母線としてz軸反時計まわりに測った偏角が0≦θ〜θ+dθ≦π/2の部分の微小体積dVについて、

お絵かきで描いたみたいな回転体の体積のdθ/2π倍で近似するとdθ→0でdV/dθ=(1/2π)*∫(0→1)π(1-z)(1+c^2)dz=(1/4)(1+c^2)

これをθ=0からπ/2まで積分して4倍すればOK、と考えたのですが全然答え合いません

微小体積の近似について挟み撃ちの原理で議論できるのでこれでOKと思ったんですが(偏角θの平面APQ上にある、Ctとxy平面で囲まれる部分の回転体の体積は、θが大きくなると明らかに単調に小さくなるから)
どこがおかしいでしょうか？

すいません、√1+c^2というのは

P(√2cosθ,sinθ,0)なのでOPの距離がそれということです

0≦z≦1-x^2の回転体の体積の2倍やん

>>286
y=tanθと楕円の交点はそれではない。

>>287
ありがとうございます
解説読んだので縮小して円にして解くのとz=tで切るのは読みました
極座標でやってなぜ合わないのかわからなくておかしくなりそうなので何卒お願いします
なにかミスってるはずなんですが…

>>288
お絵かきの図は偏角θの時のCtをxz平面上に来るように回転させたものという意味で書きました
そういうことではないですかね？
理解力が足りず申し訳ありません

sを1より大きい実定数とする。
以下の方程式を満たすf(x)を決定せよ。

∫[1,s] log|f(xy)|*f(x) dy = Ax+B

>>289
ちゃんと、z軸を稜線とする微小角度の”くさび型”を放物線で切った微小体積
（z軸からの距離の二乗の積分の1/2倍）を求めて積分した？

>>292
放物線が段々小さくなっていく（θ1<θ2ならθ1の時の回転体はθ2の回転体をすっぽり覆い尽くす）ので

挟み撃ちの原理でdV/dθを評価して

回転体そのものをdθ切ったもので近似できると思ったのですがこれが間違いですかね？

>>292
そうやったと思います。

>>283
ありがとうございます
学びます

>>294
微小角度Δθと実際の座標(√2cosθ,sinθ)=R(cosφ,sinφ)の微小角度Δφの違いは考慮に入れた？
×∫(1/4)(1+c^2)dθ
〇∫(1/4)(1+c^2)dφ
です。

>>296
したと思うのですが…
こんなんでやりました

してませんがな

>>297
誤りの原因は座標(√2cosθ,sinθ)のθと座標R(cosφ,sinφ)のφを混同したため。
実際の図形の角度はθではなくてφになることに注意。
正誤表は
×dV/dθ=(1/4)(1+c^2)
〇dV/dφ=(1/4)(1+c^2)

これを正しく解くと
(√2cosθ,sinθ)=R(cosφ,sinφ)
のRを消去して
tanφ=tanθ/√2
これを微分して
dφ/cos^2φ=dθ/(√2cos^2θ)
↓
(1+cos^2θ)dφ=√2dθ
これを積分して
∫(1/4)(1+c^2)dφ = ∫(√2/4)dφ
で答えが合うんじゃないの？

>>299
あーーありがとうございます！
バカで申し訳ありません

1時間くらい悩んでしまいました………
無能すぎて悲しいですね(´Д⊂ヽ

ノイマン境界条件x'(0)=x'(1)=0 (0≦t≦1)の下で
x''(t)=f(t) (f(t)∈C[0,1]) を解け

実数xに対して、[x]でxを超えない最大の整数を表す。

a=[x]、b=[1/x]を用いて、
f(x)=(x/1!)+(x^2/2!)+...(x^a/b!)
と定める。
このとき、以下の極限を求めよ。

lim[x→+0] sin(x)/f(x)

数式として成立すらしてない。

実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表す。
以下を求めよ。　

∫[0,π] x{Σ[k=1,n] [x]sin(kx)} dx

半径1の球面Sに内接する2つの正四面体V,Wを考える。

Vの1つの頂点Aに対して、Wの1つの頂点Pを、APが最も長くなるように選ぶ。その長さをLとする。

（1）V,Wの位置が色々変わるとき、Lの取りうる値の範囲を求めよ。
ただしV,Wは一致しても良いものとして扱い、以下も同様である。

（2）nを2以上の整数とする。
（1）に加え、V,Wの動きうる範囲に以下の制約をつける。
『Vの1つの頂点Aに対して、Aに最も近いWの頂点Qを選ぶと、π/n ≤ ∠AOQ ≤ π/(n-1)となる。』
この場合のLの取りうる値の範囲を求めよ。

半径1の球面に内接する四面体ABCDに対し、↑AB=↑b、↑AC=↑c、↑AD=↑d、とおく。

これらが等式
(↑b・↑c)+(↑c・↑d)+(↑d・↑b)=0
を満たすとき、以下の問に答えよ。

（1）四面体ABCDの各面の三角形全てを考えると、計12個の平面角が存在する。
それら12個の中に鈍角は何個あるか、考えられる値をすべて求めよ。

（2）cos(∠BAC)+cos(∠CAD)+sin(∠DAB)
の最大値を求めよ。

障害者ジャップ猿ダニゴキブリ山本ともひろ焼き殺せ

https://www.youtube.com/channel/UCeoVawhJNJ2hq5RDiU7wHuA
https://www.youtube.com/channel/UCQsUuWBX79NNIWxG2Tq9NDw
https://www.youtube.com/channel/UCfqcdUbJ4cL5rZ3nWKmpeZA
https://www.youtube.com/user/zirconiumklmc

ニホンザル害虫ゴキブリを焼死させろ

https://www.youtube.com/channel/UCnmv6QZpwFxr-4BDrbQgj2A
https://www.sankei.com/premium190405html

ニホンザルヒトモドキゴキブリマスゴミ産廃社員の頭をすりつぶして殺せ

3NFXti7BmIk
https://twitter.com/scye2011
https://twitter.com/biyuden_miko35

ニホンザルヒトモドキを核で焼き殺せ
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

>>277

ae=2 のとき
-0.7034674225

ae=4 のとき
-0.8155534188
1.4296118247
8.6131694564

ae=6 のとき
-0.8656497043
1.2268886960
16.9988873523
など

ちょっと質問です

ベルヌーイ数についてなんですがwikiのページの表で n ＝1のとき　-1/2 になっているんですが


これは1/2の間違いですか？教えてください　wikiのページはここです
ベルヌーイ数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%A4%E6%95%B0

>>277

ae=-2 のとき
0.7034674225

ae=-4 のとき
0.8155534188
-1.4296118247
-8.6131694564

ae=-6 のとき
0.8656497043
-1.2268886960
-16.9988873523
など

>>314
B_1=-1/2で合っているけど？

>>314のつづき
ファウルハーバーの公式でｓ１（ｎ）＝　を求めるときに　B1のベルヌーイ数が　1/2でないと合いません
>>314のn=1のときの　ベルヌーイ数　が間違っているということでいいんでしょうか？

ファウルハーバーの公式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A6%E3%83%AB%E3%83%8F%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

>>316
ファウルハーバーの公式でｓ１（ｎ）＝　を求めてみてください

あいません(´・ω・｀)

そのwikipediaのページの注釈2は見たか？

>>302
こちら分かる方いませんか？

>>319
みたけど
正接関数のマクローリン展開の結果において、実数変数を仮定した場合、
ベルヌーイ数の第 3 項以降の奇数項は虚数項に対応する。
実数変数における正接関数が実数関数でなければならないので、
そのマクローリン展開に虚数項に対応する項が存在してはならない。
よって、ベルヌーイ数の第3項以降の奇数項はゼロでなければならない
って書いてあった(´・ω・｀)
でも第一項について言ってるんだけど？(´・ω・｀)

ちなみに脚注５にこう書いてあった(´・ω・｀)
ファウルハーバーの公式 もベルヌーイの記述に基づき、第 1 項を1/2とする記述で説明している。

>>321 ファウルハーバーの方の脚注2な

>>322
ありがとう(´・ω・｀)

B1 = 1/2 となるようにベルヌーイ数を定義する流儀と、
B1 = −1/2 となるように定義する流儀がある。って書いてあった(´・ω・｀)

>>320
分かるに決まってるだろバカ
図書館で解決するだろアホ
俺たちの頭脳を無駄に使わせるなカス

随分なこと言うなーと思ったけど、言われるだけのことあるな

a>0として
a^x=log(a)x　[aを底とする対数]

が2つ以上正の実数解xを持つ条件を求めなさい。

有名な問題らしいのでお願いします

a^x/xの最小値が1未満のとき。
しかしピッタリ1になるときが
log(a)a^(1/log a)=1
でコレの解αはただ一つあるようだけどそれがなにかはよくわからない。
1<a<αの時が求める範囲のはず。

>>326
逆関数
→y=xについて対称
→共通接線と共有点の個数を考える

とかではダメ？

>>326
数学セミナー2005年5月号

求め方をわかりやすく教えて欲しいです

来年はがんばれよ

(´・ω・`)

条件x^3-2xy+y^3=0のもとで、ｆ（ｘ、ｙ）＝x^2+y^2の極値を求めよ。

ラグランジュの未定乗数法を使ったまでは良かったのですが
ラムダを消してもうまく式を変形することができず、計算が行き詰まってしまいました。

ｘで微分した式とｙで微分した式でラムダを消した式が
2(x-y)(2x+3xy+2y)=0
最初の条件の式が
x^3-2xy+y^3=0
この二つからうまく極値の候補になる点を求めたいです。
x-y=0の仮定からx=0,x=1までは絞り込めたのですが
その先に進めません。

この問題の解答を教えてください！
2変数関数f(x,y)=-x^3+6xy-8y^3について、次の問に答えなさい。

問一
df/dx(x,y)=df/dy(x,y)=0を満たす点(x,y)を全て求めなさい。
問二
z=f(x,y)の極値を求めなさい。


以上の二問です。よろしくお願いします。

>>327
　α = e^(1/e) = 1.444667861
とおくと
　α^x = e^(x/e) ≧ e･(x/e) = x,
等号は x=e のとき。

>>330
　ａ2 = 2ａ1,
　ａ4 = ａ1 + ａ3,
　ａ1, ａ3 は１次独立 (平行でない)
から
　基底は {ａ1, ａ3},　次元は2.

>>333
残りの
　2x+3xy+2y = 0
と条件から
　(x+y)(xx-xy+yy + 4/3) = (x^3 -2xy +y^3) + (2/3)(2x+3xy+2y) = 0,
xx-xy+yy ≧ 0 だから
　x+y = 0,
　xy = 0,
　x=y=0.

デカルトの正葉線 (folium) と云うらしい。
森口・宇田川･一松：「数学公式I」 岩波全書221 (1956)
　p.274　第6.36図　a=2/3

>>334
問一
　∂f/∂x = 3(-xx+2y) = 0,
　∂f/∂y = 6(x-4yy) = 0,
より
　(x,y) = (0,0)　(1,1/2)
問二
　f(1,1/2) = 1,　(極大)

なお、f(0,0) = 0 は鞍点(峠点)
f(x,y) = 0 はデカルトの葉線 (folium)

>>338
解いてくださりありがとうございました！

>>337-338
補足
http://mathworld.wolfram.com/FoliumofDescartes.html
英語だが...

（1）各自然数nに対して、2^k≦nとなる最大の整数kをf(n)と表す。
このときある奇数a[n],b[n]が存在し、
Σ[k=1,...,n] 1/k = b[n]/{2^f(n)*a[n]}
と表せることを示せ。

（2）Σ[k=m,...,n] 1/k = 1
を満たす自然数m,n（m<n）は存在しないことを示せ。

2進付値

(1)
f(n) = [ log_2(n) ]

(2)
m〜n の中に、2で割り切れる回数が最多のものが唯一つある。

∵ もし2つあれば、その中央の数の方が多いはず。

>>343
ありがとうございます。2つあるなら中央のほうが多い回数割り切れる、に気づきませんでした。
もしかしたら（2）はΣ1/k = 1の右辺を任意の自然数Nに置き換えても成立しますか？

2つあるなら、その中間に、もっと多く割り切れるものがある、に修正。
自然数Nにしても成り立つと思われ。

l^∞空間上の写像f_nをf_n({x_{k}})={x_{n+k}}と定めるとき
f_nはl^∞上で強収束しないことを示して下さい

f_nはl^∞上の関数であってl^∞の元ではないんでしょ？
それがl^∞の位相で収束するとかしないとかって？

境界値問題について考える

-u''(x)+a(x)u(x)=f(x),0<x<1,
u(0)=u(1)=0.
上記をまとめて（P1）’とする
ただし、ｆ∊Ｌ^2(0,1),a:[0,1]→R(実数)；x→a(x)は非負かつ連続とする。
以下の問に応えよ

(a)(P1)'に対して弱解を定義せよ
(b)(P1)'は一意な弱解を持つことを示せ

どうかよろしくお願いいたします。

ここから先が納得できないんですがどう解けば良いですか？
教科書ガイドに詳しい説明がありませんでした

>>347
すみませんここでのf_nがfに強収束することの定義は任意の{x_k}∈l^∞に対して
||f_n({x_k})-f({x_k})||→0が成立することです

>>349
(8)　xについて整理すると、
　x^2 -y^2 +4x +6y -5
　= x^2 +4x -(y^2 -6y +5)
　= x^2 +x(y-1) -x(y-5) -(y-1)(y-5)
　= {x +(y-1)}{x -(y-5)}
　= (x+y-1)(x-y+5).

>>349
x^2+4x-(y-1)(y-5)
=x^2+4x+(y-1)(5-y)
ここでy-1と5-yをみると足すと4になってるので……

>>351,352
ありがとうございます。
ただ(1)から(7)までは、右を足した時真ん中にしっくりきてたんですが、yになってて足せません。

y+なんちゃらはどこへ消えたんでしょう

>>353
ちょっと何言ってるかわからない

(1)から(7)を見ていないので(1)から(7)と比較されても答えようがない
右って何？
真ん中って何？
yになっててって何？
y+なんちゃらって何？

俺もそうだけど画像などのリンクを踏まない主義の人がいるから
できるならここに書き込んだ方がいいぞ

>>350
強位相は
||f||:=sup{|f(x)| ; |x|≦1}
をノルムとするノルム位相だからコーシー列になってないことを確認するだけでは？
実際任意のm,nについて|x|=1であるxを
x(i)=1 if i≦max{m,n},0 otherwise
にすれば良いと思う。

>>356
そうそう、一度ヒドイ目に会うと懲りるよね

>>349


例えば

X^2＋4X -12

とかとやっていることは同じなんだよ。
2つの式の、緑のところと黄色のところでやっていることは同じなんだ。

解析学
次の問題で、(2)の計算がわからないうえ(3)も何をすればいいかさっぱりわかりません
わかるかた、教えてください

C² 級関数 g(x, y) に対する束縛条件 g(x, y)=0 の下で z=f(x, y) の極値を考察するとき, (x, y)=(a, b) がその候補点とする。すなわち,

F(x, y, λ)=f(x, y)-λg(x, y)

とおくとき, (x, y)=(a, b) と, ある定数 λ=λ_0 が連立方程式

F_x(x, y, λ)=f_x(x, y)-λg_x(x, y)=0
F_y(x, y, λ)=f_y(x, y)-λg_y(x, y)=0
F_λ(x, y, λ)=-g(x, y)=0

を満たし, g_y(a, b)≠0 とする

いま, H_{f,g}(x, y, λ) を画像のように定める



このとき, 以下の命題を手順(1)から(3)に従って示せ:
(i) H_{f, g}(a, b, λ_0)>0 ⇒ z=f(a, b)は極小値を与える;

(ii) H_{f, g}(a, b, λ_0)<0 ⇒ z=f(a, b)は極大値を与える

(1)陰関数 y=φ(x) が (a, b) の近傍で存在して
φ'(x)=-g_x(x, y)/g_y(x, y)
を満たす

(2) 陰関数 y=φ(x) が (a, b) の近傍に存在して
φ''(x)={-g_{xx}(x, y)g²_y(x, y)-2g_x(x, y)g_y(x, y)g_{xy}(x, y)+g²_x(x, y)g_{yy}(x, y)}/g³_y(x, y)
を満たす

(3) z=f(x, y) を x の関数とみなすとき, f_x と f_{xx} を求める

xyz空間の円柱x^2+y^2≦1(-∞<z<∞)をCとする。また、点(0,0,4)と点(1,0,6)を通る直線をlとする。
lを回転軸とする回転体のうち、Cに含まれる部分の体積が最大のものの体積を求めよ。

前>>267
>>361
回転体の体積のうちのCに含まれる体積の割合が大きくなるときの回転体の体積という意味でしょうか？
それならやみくもに大回転させても損だ。
y軸方向とy=2x+4方向の2本の半径1の円柱をクロスさせた共通部分てことかもしれない。
もしいくらでも大きく回転させていいなら、直線lに対して大きく回転すればするほど断面積は大きくなるから、
直線lを回転軸とした回転体のうちCに含まれる体積も大きくなる。
∴∞

前>>362
>>361
Cの直径2に対して回転体の長さが4とすると、
Cに含まれる体積が最大となる回転体の体積は、
π･1^2･4=4π
こういうこと？

自然数nについて
a_(n+1)>a_(a_n)
が常に成り立ち、a_nは全自然数nについて自然数
a_n(nは自然数)を求めよ。

>>364
a_n =n が条件を満たすことは自明だけど、それ以外にあるかどうかは知らん。
（a_(n+1)=n+1 > a_(a_n)=a_n= n )

>>359
ご丁寧にありがとうございます。

お次はこちらの(3)の
-2xyなのかご教示お願いします。

x^2 + y^2 = x^2 + 2xy + y^2
ではありませんか？

>>366
もしx^2 + y^2 = x^2 + 2xy + y^2だとしたら今xy=1/2なんだから両辺からx^2+y^2を引いたら0=1になっちゃうよね
教科書とかノートを良く見直して例題を解いてみた方が良いと思う

>>366
(x+y)^2を展開するとどうなる？

>>364-365
>>364=>>365の自作問題で答えが出るかどうかはわからんという事？

パチンコの確率のことで恐縮ですが
100分の1と10000分の100の当選確率は同じですか

>>369
私は364ですがTwitterでみた問題が気になったので聞きました
私は365ではないです

>>371
元問題見てみたい。
rwitterのリンクおながいします

https://twitter.com/easy_mathbot/status/1216207464590217217?s=19



https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

thx
でもムズイ
どうやるんだろ？

>>374
元ネタは数オリの1977の問題B3らしい
自然数の最小値原理を上手く使ってる
https://prase.cz/kalva/imo/isoln/isoln776.html

>>375
おぉ、素晴らしい。thx

すべての自然数nに対して
1/(n+1)<sin(1/n)<1/n
を証明せよ。

>>366


まとめておいた

次の性質(1)(2)(3)をすべて持つ四面体が存在することを証明せよ。

(1)どの辺の長さも整数
(2)どの面の面積も整数
(3)体積が整数

（ヒント）z軸を中心軸、原点Oを底円Cとする円柱を考えよ。C上に3点をとり、z軸上に残り1点を取れ。

>>378
大変参考になりました
これからも宜しくお願いします。⛳

統計の勉強をしています。

の問題で

鉛筆で印をつけたところまでは分かるのですが、そこらの説明がいまいち分かりません。
どなたか分かりやすくご教授頂けないでしょうか。

>>379

import Data.Ratio

isSquareI n = (==n) $ (truncate $ sqrt $ fromInteger n)^2

maxDenom = 12

candidates = [[b%a,d%c]|
a<-[2..maxDenom],
b<-[1..a-1],
c<-[2..maxDenom],
d<-[1..c-1]]

isGood [x,y] = isSquare $ 1+(2*x/(1-x^2))^2+(2*y/(1-y^2))^2

ratroots =[ c | c<-candidates,isGood c]

isSquare x = (isSquareI $ numerator x) && (isSquareI $ denominator x)

squareTanDouble m n = ((2*m*n)%(m^2-n^2))^2

main=do
print ratroots

[[1 % 4,3 % 11],[4 % 5,6 % 7],[6 % 7,4 % 5],[6 % 7,4 % 5],[1 % 4,3 % 11],[4 % 5,6 % 7],[3 % 11,1 % 4],[3 % 11,1 % 4],[3 % 11,1 % 4],[1 % 4,3 % 11]]

>>375
おお、なるほろ。
やっぱりa_n=n　しかないんやね。
それ以外にありえないことが、証明できそうでできなくて
モヤモヤしてたんだが、巧妙なやり方だねぇ。

>>377
　O (0, 0)
　A (cos(1/n), sin(1/n))
　B (cos(1/n), -sin(1/n))
　C (1/cos(1/n), 0)
とおく。
　弦AB = 2sin(1/n),
　弧AB = 2/n,
Aでの接線、Bでの接線 をつなぐと
　折線ACB = 2tan(1/n),

弧ABの長さは、弧に内接する折線の長さの上限として定義されるから、それは弦ABよりも大で、折線ACBよりも小である。従って
　sin(1/n) < 1/n < tan(1/n)
　= sin(1/n)/√{1-sin(1/n)^2}
　< sin(1/n)/√{1-(1/n)^2}
　< sin(1/n)･(n+1)/n,
よって
　1/(n+1) < sin(1/n) < 1/n.

高木「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
　p.21-22　[例2]

>>381
赤塗と赤線の部分を合わせた面積が０．９５
ゆえに白の部分の面積が０．０５となるのは
-１．６４５＝-（０．３＋２ｘ）を解けばいいが、付表にないとのことなので
赤塗の部分の面積＝０．０５となるの１．６４５をつかって
１．６４５＝（０．３＋２ｘ）を解く。

>>370
最頻値は同じだが、９５％信頼区間は
前者で
> binom.test(1,100)$conf
[1] 0.000253146 0.054459385
０．０２％から５％
後者で
> binom.test(100,10000)$conf
[1] 0.008143597 0.012149505
０．８％から１．２％

>>382
実行したら、

*Main> :main
[[1 % 4,3 % 11],[4 % 5,6 % 7],[6 % 7,4 % 5],[6 % 7,4 % 5],[1 % 4,3 % 11],[4 % 5,6 % 7],[3 % 11,1 % 4],[3 % 11,1 % 4],[3 % 11,1 % 4],[1 % 4,3 % 11]]


とでてきましたが、これって何を表しているのでしょう？

底辺１高さ１の直角二等辺三角形の斜辺を階段状に細かくしていくと
横方向と縦方向の長さの総和は各々１なのでギザギザの長さは常に２のままだけど
ギザギザを細かくする極限では斜辺の長さ√２にならないとおかしくないですか？

>>387
AB⊥BC、BC⊥CD、AB⊥CD、BC=1、AB,CD∈QとするとAB=2x/(1-x^2), CD=2y/(1-y^2)とおける。
このときAD以外の全部の辺長は有理数確定。
面は全て直角三角形、CD⊥ABCなので残るADが有理数なら条件は全て満たされる。
プログラムはAD=√(1+AB^2+CD^2)が有理数となるものを探索するもの。

-例-
(x,y)=(1/4,3/11)のとき
AB=8/15, CD=33/56, AD=1073/840。

A (2x/(1-xx), 0, 0)
B (0, 0, 0)
C (0, 0, 1)
D (0, 2y/(1-yy), 1)
とおくと
稜長
　AB = |2x/(1-xx)|,　AC = (1+xx)/|1-xx|,　BC = 1,
　BD = (1+yy)/|1-yy|,　CD = |2y/(1-yy)|,
　AD = √(AB^2+BC^2+CD^2)
面積
　�僊BC = (1/2)AB･BC,　�僊BD = (1/2)AB･BD,
　�僊CD = (1/2)AC･CD,　�傳CD = (1/2)BC･CD,
体積
　V = (1/6)AB･BC･CD.

超関数の質問なんですが、全区間で値が0だけど、マイナス無限から無限まで積分したら1になる超関数に名前ってついてますか？
無限に平べったい関数って言えばいいのでしょうか...

>>391
そんな超関数はない。

>>392 無いんですか...
にわかですみません

>>389
解説ありがとうございます。

断面が直角三角形になるように豆腐の角を切り落とすイメージなのは理解できたのですが、

AB=2x/(1-x^2), CD=2y/(1-y^2)と置くのはどこから誘導されたのでしょうか？

(x,y)=(1/4,3/11)のとき有理数を整数化するために整数倍すると
> b　# 辺の長さ
[1] 896 1904 1680 1950 990 2146

> (ABC=1/2*b[1]*b[3])
[1] 752640
> (ABD=1/2*b[1]*b[4])
[1] 873600
> (ACD=1/2*b[2]*b[5])
[1] 942480
> (BCD=1/2*b[3]*b[5])
[1] 831600

> (Vol=1/6*b[1]*b[3]*b[5])
[1] 248371200

>>388
別におかしくは無いよ
例えばコッホ曲線とかは長さ無限大になる
連続性とか微分可能性を考えてみると良いと思う

>>394
分母払ってピタゴラスの定理から
AB^2=2mn/(m^2-n^2) または (m^2-n^2)/(m^2+n^2)のどっちか。
解を一個でも見つけたら終わりなのだからABもCDも前者決め打ちで探索→発見→終了。

おっとまたはの後半は間違った。
ま、内接円の半径も有理数になる事を利用すれば前者で答え見つかるのもわかる。
しかし一般解探してるわけじゃないのでそこはこだわっても意味ない。

双子素数の関係にある2数で、その2数の平均が2の累乗となるものは(3,5)のただ一組であることを証明せよ。

3

2^n-1が素数なのはn素数のときのみ
2^n+1はnが奇数のとき3の倍数
n=2のときは成立
nが2でない素数のときはn奇数だから2^n+1=3のときしかないつまりn=1だがこれは不適

>>397
説明ありがとうございます。
AB^2=2mn/(m^2-n^2) でm=1としたと理解しました。

>>399
2^n-1,2^n+1が共に素数とする。
小さい方がメルセンヌ素数よりnは素数。
大きい方がフェルマー素数よりnは2のべき。
∴ n=2

小学生的に
双子素数とその平均は連続する3つの自然数なのでそのうちに1つ3の倍数がある
平均が2の累乗という条件から双子素数のどちらかが3の倍数
3の倍数で素数なのは3しかないので(1,3)、(3,5)しかないが前者は不適