ラマヌジャン総和法は、例えば
1+2+3+4+5+...=-1/12
となるのは比較的有名ですが、
上記の級数よりも収束可能性の高い、「調和級数」も収束させることができる事は、
日本語版のwebページにもあまり載っていないようです。
1+1/2+1/3+1/4+1/5+...=γ
(γはオイラー・マスケローニ定数、およそ0.5772156649...)
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｜ラマヌジャン総和法は、例えば
｜1+2+3+4+5+...=-1/12
｜となるのは比較的有名ですが、
では、最初に1をもう一つ付け加えたり、
途中の項のたとえば7を抜いたり、
あるいは途中にルート2を付け加えたりしたら、
その総和法の結果としては何が得られるだろうか。
発散する級数は幾らでも人為的に作れるが、それらに対して冪級数の特殊値であると捉えて
解析接続を背景に持つ総和法を適用することが常に可能であるとは思えないのだが。
そもそも自然境界が存在してそれを越えて解析接続をすることは出来ない関数もあるし。
級数の第ｎ項までの和を考えてそれをS(n)とするときに、
それがｎを限りなく大にするとき普通の意味で収束するならその値にすれば良い。
ｎを限りなく大にするときに、収束しないが、ｎについて増大や振動する関数の
基底を固定して、それらによりS(n)を線形に漸近展開して、ｎについての発散項、
振動項を引き去っていけば、
最後はｎを大にするときに発散や振動しないものと
なるから、それを総和S(n)の有限部分とすれば、いいだろう。
S(n)=1+1/2+1/3+....+1/n ならばnについてlog(n)をｎを大にするときの発散する
関数の基底の一つとすると、S(n)-log(n)はｎを大にするとき有限の値γに収束
するから、S(n)の有限部分はγとすれば良いだろう。
>S(n)-log(n)はｎを大にするとき有限の値γに収束
>するから、S(n)の有限部分はγとすれば良い
まったく変
s(n)= 1 + 2 + 3 + ... + n のときは、
s(n)= (n+1)n/2 = n^2/2 + n/2 だ。
そこで、発散する基底関数としてn と n^2 を選んでいれば、
s(n)からそれらの線形結合を引いてやると、有限部分は零になる。
発散する基底関数の取り方として(n-1) と n^2 を選んでいれば、
有限部分は1/2になる。それでいいだろうか？ちょっと気持ちが悪いかも。
例えば1-1+1-1+…はどうだ？
どこが振動部分でどこが有限部分なんだ？
発散する数列の基底を定めてから議論する。
振動も発散の一種だから、
s(n) = 1-1+1-1+1-...(-1)^{n-1} とすると、
s(n=偶数）＝０
s(n=奇数）＝１
だから、基底関数に(-1)^n を採用していれば、それの半分を引いた残りの
有限収束部分は1/2になる。
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