大学数学の質問スレ Part1

無くなってたので立て直し

早速ですがお願いします。

M:m次元多様体
f:M→ℝ:C^∞級関数
0はfの臨界値でない
K:=f^{-1}(0):Mのm−1次元部分多様体
Kはコンパクト
このとき、
「Kのコンパクト性を使うと、十分小さい正整数εについて、[-ε,ε]はfの臨界値を含んでいないことがわかる」
と書かれているのですが、この理由がわかりません。
わかる方いらっしゃいましたら教えていただきたく存じます。

本は松本幸夫先生のMorse理論の基礎です。
また、[-ε,ε]ではなく(-ε,ε)でも問題ないです。

>>1
スレ番と過去ログつけろよ

fの微分の絶対値がK上最小値を取るけど0ではないみたいにやるんじゃね
想像だけど

以下、あっていますよね？


Σ a_n, Σ b_n は絶対収束するとする。
c_n := a_0 * b_n + a_1 * b_{n-1} + … + a_n * b_0 とする。

Σ c_n は絶対収束し、 Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n が成り立つことを証明せよ。

証明：
A_n := Σ_{k=0}^n a_k
B_n := Σ_{l=0}^n b_l
C_n := Σ_{m=0}^n c_m
A'_n := Σ_{k=0}^n |a_k|
B'_n := Σ_{l=0}^n |b_l|
C'_n := Σ_{m=0}^n |c_m|
lim_{n→∞} A_n = A
lim_{n→∞} B_n = B
lim_{n→∞} A'_n = A'
lim_{n→∞} B'_n = B'
とする。

コーシーの収束条件より、
任意の正の実数 ε に対して、 n ≧ N ならば、ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N であるような N が存在する。
n ≧ N ならば、 ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N ≧ A'_n * B'_n - C'_n ≧ |A_n * B_n - C_n|

つまり、 lim_{n→∞} (A'_n * B'_n - C'_n) = 0
よって、 lim_{n→∞} (C'_n - A' * B') = lim_{n→∞} [(C'_n - A'_n * B'_n) + (A'_n * B'_n - A' * B')] = lim_{n→∞} (C'_n - A'_n * B'_n) + lim_{n→∞} (A'_n * B'_n - A' * B') = 0 + 0 = 0
したがって、 lim_{n→∞} C'_n = A' * B'
よって、 Σ c_n は絶対収束する。

つまり、 lim_{n→∞} (A_n * B_n - C_n) = 0
よって、 lim_{n→∞} (C_n - A * B) = lim_{n→∞} [(C_n - A_n * B_n) + (A_n * B_n - A * B)] = lim_{n→∞} (C_n - A_n * B_n) + lim_{n→∞} (A_n * B_n - A * B) = 0 + 0 = 0
したがって、 lim_{n→∞} C_n = A * B
よって、 Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n が成り立つ。

0∈[-ε,ε]だよな

>>6

AI（GhatGPT, Grok, Gemini）に質問しましたが、どれも間違っているという回答でした。
あっていると思いますが、もし間違っていたら、指摘してください。

n ≧ N ならば、 ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N ≧ A'_n * B'_n - C'_n ≧ |A_n * B_n - C_n|

を

n > 2 * N ならば、 ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N ≧ A'_n * B'_n - C'_n ≧ |A_n * B_n - C_n|

に訂正します。

やはりAIはまだまだ駄目ですね。
こんな簡単なこともチェックできません。

常連の馬鹿アスペがこのスレを見つけました

ちなみに

>>6

の問題は、

堀川穎二著『複素関数論の要諦』

の宿題3に関連する問題です。

>>6

は有名なので、微分積分の教科書（例えば、松坂和夫著『解析入門』）に書いてあるのですが、

>>6

の証明とは違う証明になっています。

堀川穎二には講義中に罵倒されて鬱になったから絶対に答えてやらねー

気分に重大な欠陥がないか保健センター。

に学生研究生までは誘導。職員は大学病院とコネ。うつはうつる。

堀川穎二さんってどういう教員だったんですか？

本スレで聞け
http://2chb.net/r/math/1055661588/

>>18

リンクありがとうございます。
興味深いですね。

「人間じゃねー」が口癖だったとか

堀川穎二著『複素関数論の要諦』

1 / (1 + z + z^2) をべき級数展開せよ。

「
すぐに思いつくのは 1/(1+t) = 1 - t + t^2 - … に t = z + z^2 を代入することだろう。以前に試験に出したら、 |z + z^2| < 1 を解いて、収束範囲は (-1 - √5) / 2 < z < (-1 + √5) / 2 という答案が続出した。
」

このコメントが意味不明です。

|z + z^2| < 1 を解いても、 (-1 - √5) / 2 < z < (-1 + √5) / 2 とはなりません。

東京大学の数学科に進学予定の学生ってこんなに馬鹿な人も多いんですか？